Heston 模型 - PDE 和 Monte Carlo
為什麼赫斯頓模型的偏微分方程中有一個“波動風險的市場價格”變數，而蒙地卡羅模擬中沒有這個變數？
我們是否從兩種方法中獲得相同的價格？
一種是先確定 SDE波動風險的市場價格，然後隱含定價 PDE。這樣 SDE 和 PDE 是一致的。
一個從 Heston SDE 開始： $$ dS/S = \mu dt + \sqrt{v} dW_1 $$ $$ dv = \kappa(\theta - v)dt + \eta \sqrt{v}dW_2 $$ 和 $ W =(W_1,W_2)^T $ 相關布朗運動， $ dW_1dW_2 = \rho dt $ .
由於我們有兩個布朗驅動因素，但只有一個風險資產，無套利漂移條件只能固定風險過程的市場價格組成部分之一
$$ \lambda =(\lambda_1, \lambda_2)^T. $$
也就是說，我們有 $$ \lambda_1 = \frac{\mu-r}{\sqrt{v_t}}, $$
儘管 $ \lambda_2 $ （波動風險的市場價格）未指定。
這讓我們可以考慮 $ \lambda_2 $ -依賴EMM（等效鞅測度）在哪個過程下 $ W^\lambda =(W_1^\lambda, W_2^\lambda)^T $ ， 被定義為
$$ dW^\lambda = dW - \left(\frac{\mu-r}{\sqrt{v_t}},\lambda_2\right)^T dt, $$
是布朗運動。
原始的 Heston SDE 轉換為：
$$ dS/S = r dt + \sqrt{v} dW_1^\lambda $$ $$ dv = (\kappa(\theta - v)-\eta \sqrt{v}\lambda_2) dt + \eta \sqrt{v}dW_2^\lambda $$
這不是所有人的赫斯頓類型 $ \lambda_2 $ 選擇。
我們選擇 $ \lambda_2 $ 這樣 $$ \kappa(\theta - v)-\eta \sqrt{v}\lambda_2 $$ 可以改寫為
$$ \hat{\kappa}(\hat{\theta} - v) $$
對於一些 $ \hat{\kappa} $ 和 $ \hat{\theta} $ （例如， $ \lambda_2=0 $ 或者 $ \lambda_2 = \sqrt{v_t} $ ）。這使得變異數再次成為 CIR 動態，並且完整的 SDE 再次屬於 Heston 類型。