Heston 隨機模型 - 直覺，為什麼看漲期權的價格會涉及復數？
我是隨機波動率和赫斯頓模型的新手，我不明白為什麼看漲期權的價格會涉及復數。我可以從技術上看到原因，但我看不到直覺。
我在看這篇文章http://www.rogerlord.com/complexlogarithmsheston.pdf我想知道：
1 - 如何計算文章中等式（1）中的積分？
2 - 積分肯定會產生實數嗎？
謝謝
在 Heston (1993) 模型中，股票價格由 SDE 系統定義 $$ \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=(r-q) S_t \mathrm{d}t+\sqrt{v_t} S_t \mathrm{d}W_{1,t}, \ \mathrm{d}v_t&=\kappa(\theta-v_t) \mathrm{d}t+\xi \sqrt{v_t} \mathrm{d}W_{2,t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\mathrm{d}W_{1,t}\mathrm{d}W_{2,t}]=\rho\mathrm{d}t $ . 所以，我假設所有參數都是在風險中性測度下給出的，對數股票價格的特徵函式 $ \ln(S_t) $ 在風險中性測度下 $ \mathbb{Q} $ 是（誰）給的 $$ \begin{align*} \varphi_t^\text{Heston}(u) &= \exp\big( \ln\big(S_0e^{(r-q)t}\big)iu + C_t(u) + D_t(u)\cdot v_0 \big), \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} C_t(u) &= \frac{\kappa\theta}{\xi^2} \left(\big( h(u)+d(u)\big) t - 2\ln\left(\frac{1-g(u)e^{d(u)t}}{1-g(u)}\right) \right),\ D_t(u) &= \frac{h(u)+d(u)}{\xi^2}\cdot\frac{1-e^{d(u)t}}{1-g(u)e^{d(u)t}}, \ g(u) &= \frac{h(u) + d(u)}{h(u)-d(u)}, \ h(u) &= \kappa - \rho\xi \cdot i u, \ d(u) &= \sqrt{h(u)^2+\xi^2\big(i u + u^2\big)}. \end{align*} $$
Heston 特徵函式存在一些數值問題。只需Google``小赫斯頓陷阱’’。您問題中的論文作者 Roger Lord 與 Kahl 和 Jäckel 一起對此進行了一些研究。最簡單的情況似乎是 Albrecher 等人的調整。（2007 年）和集會（2006 年）。