維基百科上的赫爾懷特公式，對嗎？
Wikipedia 上 Hull-White 模型中的短期利率分佈為：
但 Damiano 的相同方程
Interest Rate Models - Theory and Practice是：
問：我看不出期望的公式是如何相關的。書中的公式具有瞬時前進曲線，這在維基百科中是沒有的。
對於 Hull-White 模型，其中
$$ \begin{align*} dr_t = (\theta(t)-a r_t)dt+ \sigma dW_t, \end{align*} $$ 在風險中性測度下，我們有 $ t\ge s \ge 0 $ , $$ \begin{align*} r_t = e^{-a(t-s)} r_s + \int_s^t \theta(u)e^{-a(t-u)} du + \int_s^t \sigma e^{-a(t-u)} dW_u. \end{align*} $$ 那麼，如果 $ \theta $ 是一個常數， $$ \begin{align*} r_t \mid r_s &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \int_s^t \theta e^{-a(t-u)} du\Big), , \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right) \ &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \frac{\theta}{a} \Big(1-e^{-a(t-s)}\Big), , \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right). \end{align*} $$ 對於一般情況（見這個問題），零息債券的價格由下式給出
$$ \begin{align*} P(t, T) &= A(t, T) e^{-B(t, T), r_t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} B(t, T) = \frac{1}{a}\Big(1-e^{-a(T-t)} \Big), \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} A(t, T) &= \exp\left(- \int_t^T \theta(u) B(u, T) du -\frac{\sigma^2}{2a^2}\big(B(t, T) -T+t\big)-\frac{\sigma^2}{4a}B(t, T)^2\right). \end{align*} $$ 給定初始債券價格曲線，請注意 $$ \begin{align*} \ln P(0, T) = \ln A(0, T) - B(0, T), r_0. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} f(0, T) &= -\frac{\partial \ln P(0, T)}{\partial T}\ &= \int_0^T \theta(u) \frac{\partial B(u, T)}{\partial T} du + \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(\frac{\partial B(0, T)}{\partial T} -1\Big)+ \frac{\sigma^2}{2a}B(0, T) \frac{\partial B(0, T)}{\partial T}\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ + \frac{\partial B(0, T)}{\partial T} r_0\ &=\int_0^T \theta(u) e^{-a(T-u)} du+ \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)+ \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T}-e^{-2a T} \Big) + e^{-a T} r_0\ &=\int_0^T \theta(u) e^{-a(T-u)} du - \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)^2 + e^{-a T} r_0. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \int_0^T \theta(u) e^{-a(T-u)} du &= f(0, T) + \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)^2-e^{-a T} r_0\ &=\alpha(T)-e^{-a T} r_0, \tag{1} \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} \alpha(T) = f(0, T) + \frac{\sigma^2}{2a^2}\Big(e^{-a T} -1\Big)^2. \end{align*} $$ 此外，從 $ (1) $ , $$ \begin{align*} \int_0^T \theta(u) e^{au} du= e^{aT}\alpha(T)-r_0. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} \int_s^t \theta(u) e^{-a(t-u)} du &= e^{-a t} \int_s^t \theta(u) e^{a u} du\ &= e^{-a t}\left(e^{at}\alpha(t)-e^{as} \alpha(s) \right)\ &=\alpha(t) - e^{-a(t-s)}\alpha(s). \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} r_t \mid r_s &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \int_s^t \theta(u) e^{-a(t-u)} du\Big), , \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right) \ &\sim N\left(e^{-a(t-s)} r_s + \alpha(t) - e^{-a(t-s)}\alpha(s), , \frac{\sigma^2}{2a}\Big(1-e^{-2a(t-s)}\Big)\right). \end{align*} $$