跟踪誤差和索引跟踪
假設我想複製一個像 S&P500 這樣的指數。人們通常會最小化稱為跟踪誤差的數學概念，它只不過是指數回報與我們投資組合回報之間的標準差。更準確地說，讓 $ r_{pf} $ 成為我們投資組合的回報 $ r_{idx} $ 是指數的回報。我們有 $ TE = std(r_{pf}-r_{idx}) $ .
我不明白為什麼最小化這種跟踪誤差就足以建構跟踪指數的投資組合。假設我們可以將跟踪誤差最小化到非常接近於 0，這意味著隨機變數 $ X $ 定義如 $ X = r_{pf} - r_{idx} $ 將有一個零變異數，因此 $ X $ 幾乎可以肯定是一個恆定的隨機變數。
但是，什麼告訴我們常數將等於 0 ？它可以等於任何東西，因為只要 $ X $ 幾乎肯定是恆定的，它的變異數為空。這根本不能解決我們最初跟踪索引的問題。因為我們想要 $ r_{pf} $ 大約等於 $ r_{idx} $ .
設置：平均差
您對跟踪錯誤定義的抱怨似乎是它沒有考慮兩者之間的平均差異 $ r_{pf} $ 和 $ r_{idx} $ . 有幾種方法可以考慮您的投訴。
讓我們考慮兩個跟踪指數的投資組合： $ A $ 和 $ B $ 有回報 $ r_{P_A} $ 和 $ r_{P_B} $ . 你的擔心似乎是 $ \text{var}(r_{P_A}-r_{idx})=\text{var}(r_{P_B}-r_{idx})=0 $ 但 $ r_{P_A}=r_{idx}<r_{P_B} $ ： 兩個都 $ A $ 和 $ B $ 跟踪誤差為 0，但 $ r_{P_B}-r_{P_A}=c>0 $ .
哪個投資組合更好？
首先，確實可以在 $ A $ 和 $ B $ ，我們更喜歡投資組合 $ B $ . $ B $ 沒有準確地跟踪索引；它返回更多。這樣一來，您是對的，跟踪誤差的定義似乎缺少一個重要的細節。
套利問題
但是，其次，您應該考慮在這種情況下可能會發生什麼。我有兩種工具，它們的回報僅相差一個常數。這是教科書套利：我做空 $ A $ 並用這筆錢購買 $ B $ 收入 $ c $ . 我這樣做多少錢？很多——比如“盡可能多” *。*當我可以獲得保證時，誰在乎指數回報 $ c $ 無需放下任何錢？套利者的行為將關閉這些價格，直到 $ r_{idx}=r_{P_A}=r_{P_B} $ .
實際問題：流動性、信用和風險限制
第三：我們應該考慮實用性，因為這確實發生了。有許多指數基金都複製了該指數，但費用比率不同。在這些情況下發生了什麼？好吧，許多昂貴（高費用）的指數基金都是共同基金，因此你不能做空它們。
但是，存在具有不同費用比率的指數 ETF，並且 ETF 可以做空。例如，SPY 的費用比率約為 0.09%，而 VOO（也跟踪標準普爾 500 指數）的費用比率約為 0.03%。
為什麼人們不套利 VOO 和 SPY？他們可以而且可能在某種程度上做到了；然而，流動性、保證金和信用的實用性會影響：
- SPY 通常具有0.01美元的買賣差價（約 0.003%），而 VOO 通常具有0.03美元的買賣差價（約 0.01%）。交易一個與另一個將消耗大約 0.026% 的進場和出場，這將利潤降低到大約 0.06%（保守）。
- 交易需要在經紀公司的賬戶中存入一些資金；您不能在沒有資金的情況下開設賬戶，做空資產以獲得資金，並僅使用該資金進行交易。
- 由於Reg T，做空其中一個並不能為您提供另一個職位的全部資金；因此，您需要自己有一些資金來資助一半的多頭頭寸。
- 最後，如果不達到許多經紀商的頭寸限制，您就無法進行大規模交易。
概括
總而言之，您是對的，與指數相比，我們更喜歡在沒有跟踪誤差的選擇中產生更多收益的投資組合。存在一些較差的投資組合（更高的費用）的例子——並且持續存在——因為它們是不能做空的共同基金。然而，大多數更昂貴的 ETF 實例的價格並不高，因此它們處於買賣價差加上為多頭頭寸提供資金的貸款的套利範圍內。