為什麼 Leontief 開放模型中對生產經濟的定義是這樣的？
注意：作為一個跨學科問題，它在數學交流上有它的孿生兄弟：https ://math.stackexchange.com/questions/4193896/why-the-definition-of-productive-economy-in-leontief-open-model -是這樣的。在那裡，您可以找到一些可能有用的見解。
Leontief 開放（生產）模型是一種簡化的經濟模型，適用於消費等於生產或投入等於產出的經濟體。
在該模型中，消費矩陣中的條目表示各種輸出（例如商品或服務）的非負貨幣值（以某種任意貨幣單位）。每一個 $ (i,j) $ 消費矩陣中的第一項是產出的貨幣價值 $ i $ 需要的行業 $ j $ 工業生產其自身產出的一貨幣單位。表示任意消費矩陣，通常記為 $ C $ ，可以用輸入輸出表的形式表示：
例如，為了從工業 3 中獲得一個單位的產出，它需要 $ c_{13} $ 工業 1 的產出單位，以及 $ c_{23} $ 工業 2 的產出，以及 $ c_{33} $ 來自工業 3（即其本身）的產出。
在這種情況下，開放部門是指需要滿足其需求的外部消費者，其需求在模型中由特殊類型的列向量表示，其中每個 $ i $ 第一項對應於外部消費者需要的輸出的非負貨幣價值 $ i $ 第一個行業。此類列向量稱為需求向量，此類單個向量通常表示為 $ D $ （大寫“d”）或[Math Processing Error] $ \textbf{d} $ （粗體小寫“d”）。
與特定消費矩陣相關的總產量[數學處理錯誤] $ C $ 和一些需求向量 $ D $ 在這個模型中由一個列向量表示，其中每個 $ i $ th 列是輸出的非負貨幣值 $ i $ 需要生產以滿足外部消費者需求的工業。這樣的列向量稱為生產向量，通常表示為 $ X $ 或者 $ \textbf{x} $ .
這些相關矩陣的三元組（生產向量 $ X $ , 消費矩陣 $ C $ , 和需求向量 $ D $ )，基於生產等於內部和外部需求/消費之和的假設，由矩陣方程相關
$$ \begin{equation} X = CX + D \end{equation} $$ 在哪裡 $ CX $ 是內耗。 在這個模型中，一個經濟體根據定義是生產性的，如果對於它的消費矩陣 $ C $ 存在Leontief 逆 $ (I-C)^{-1} $ 和 $ (I-C)^{-1} \geq 0 $ .
奇怪的部分來了。
一個消費矩陣 C 被稱為是生產性的，如果 $ (I − C)^{−1} $ 存在並且 $ (I − C)^{−1} $ ≥ 0
矩陣 $ (I-C)^{-1} $ 甚至有自己的名字，Leontief inverse，但我仍然不清楚為什麼它甚至需要存在。
根據 Derrick Chung 的說法，
如果一個經濟體能夠滿足任何外部需求，那麼它就是有生產力的。換句話說，對於任何 D，都有一個 X 使得 X - CX = D 且 X ≥ 0（即 X 僅包含非負條目）
並且正下方有一個與 Leontief 逆類似的定義。為什麼一個經濟體不能被認為是有生產力的 $ X(I − C) = D $ （不需要矩陣 $ (I-C) $ 是可逆的）？或者，等價地，為什麼之間的關係[數學處理錯誤] $ X $ [D數學處理錯誤]和 $ D $ 是雙射的？還是它與特徵值有關？
這是 Leontief 模型文獻中使用的特定術語。這裡的生產意味著所有部門都必須盈利（不要將其與經濟學中其他地方使用的生產力概念混淆，生產力通常是指產出超過投入）。
盈利能力要求：
$$ X-CX>0 $$ 實際上，為了得到合理的解決方案，Leontief 矩陣必須是非負逆矩陣可逆的（參見Zalai 1983），因為您正在嘗試求解[數學處理錯誤] $ X $ 哪個應該是正數（負數生產沒有意義，你如何生產負數的PC？）：
$$ X(I−C)=D \implies X = (I-C)^{-1}D $$ 據我了解，除非所有行業都盈利，否則不可能獲得非負反轉 $ I-C $ .