找到每月回報的年度幾何回報平均值的正確方法？
假設我每月獲得一組超過 10 年的月度回報。找到這些數據的幾何回報的正確方法是什麼？我問是因為我和一個同學在硬幣的不同方面。
我找到了每年的累積回報，然後找到了 10 年的幾何平均值。他找到了整個時間段的累積回報，然後取該數據的（一年中的月數/總月數）的根。
這些數字非常接近，但如果我沒記錯的話，我的數字略低於我們測量的所有資金。
還是有不同的方法，我們都錯了？
如果我理解正確，你的問題是這是否屬實：
$$ \begin{equation} \sqrt[10]{\prod_{i=1}^{10}{Y_i}} < \sqrt[10]{A} \end{equation} $$ 在哪裡 $ Y $ 是年度累積回報（您的方法），並且 $ A $ 是絕對累積收益（你同學的方法）。
那麼問題就變成了你是否找到了這種關係：
$$ \begin{equation} \prod_{i=1}^{10}{Y_i} < A \end{equation} $$ 但這不可能！絕對累積收益必須等於年累積收益的乘積。所以，如果你的年回報沒有乘以他的絕對回報，那麼你們中的一個人就犯了一個錯誤。
如果你相信你和他的數學都是正確的，那麼罪魁禍首很可能是捨入錯誤。
@chrisaycock已經給了你一個正確的答案，但我想我會添加一個更詳細的版本（順便練習一些MathJax）。
事實上，當我開始回答時，我認為這將是一個直截了當的答案，但在這個問題上花了更多時間後，我發現你可能會陷入一些潛在的陷阱。
特別是由於您命名的某些步驟不是 100% 清楚，我假設了最壞的情況（AKA 一切都錯了）。我想其中一些只是速記概念。抱歉，如果您已經以正確的方式進行操作，並且很明顯使我的解釋變得荒謬是錯誤的，但是由於您得到了不同的結果，因此至少要歸咎於其中一個步驟。
所以，完成你的任務：
Say I'm given a set of monthly returns over 10 years on a monthly basis.讓我們稱呼他們
$$ r_{1_{jan}}, \ …,\ r_{1_{dec}}, \ …,\ r_{10_{jan}}, \ …,\ r_{10_{dec}} \ [eq. 1] $$
你要做的是：
I found the cumulative returns of each year您一年的累積回報是每月回報的乘積：
$$ R_{i} = (1+r_{i_{jan}}) * \ … \ * (1+r_{i_{dec}}) - 1 \ [eq. 2] $$ 好的，直截了當。這裡沒有那麼多選擇。
then found the geometric mean of the 10 years如果你的意思是字面意思（我警告過你我會採取最糟糕的方法，抱歉），如發現這 10 個回報的**幾何平均值：**
$$ R_{G} = \sqrt[10]{R_{1} * R_{2} * \ … \ * R_{10}} \ [eq. 3] $$ 我們有第一個問題。雖然從技術上講你可以計算任何東西（只要它不是負數），它沒有意義。我們正在尋找**幾何平均回報率**：
$$ R_{G} = \sqrt[10]{(1 + R_{1}) * (1 + R_{2}) * \ … \ * (1 + R_{10})} - 1 \ [eq. 4] $$ 好的，完成，應該是正確的答案。
你同學的版本：
He found the cumulative returns of the entire time period,他是這樣計算的：
$$ AR = (1+r_{1_{jan}}) * \ … \ * (1+r_{1_{dec}}) * \ … \ * (1+r_{10_{jan}}) * \ … \ * (1+r_{10_{dec}}) - 1 \ [eq. 5] $$ 或只是使用 $ \frac{P_{last}}{P_{first}} - 1 $ 這是一樣的。這裡沒問題。
then took the (months in a year / total months) root of that data.第一個假設 - 我想你在這裡指的是權力（或
total months / months in a year根），因為否則它沒有多大意義。現在，如果我們真的從我們累積的回報中找出根源（ $ AR $ ):
$$ \sqrt[\frac{120}{12}]{AR} = \sqrt[10]{(1+r_{1_{jan}}) * \ … \ * (1+r_{1_{dec}}) * \ … \ * (1+r_{10_{jan}}) * \ … \ * (1+r_{10_{dec}}) - 1} \ [eq. 6] $$ 使用 $ [eq. 2] $ 我們得到：
$$ = \sqrt[10]{(1+R_{1})(1+R_{2}) \ … \ * (1+R_{10}) - 1} $$ 哎呀，似乎類似於 $ [eq. 4] $ ，但不一樣。我們做錯了什麼。
事實上，我們希望這樣（記住我們正在尋找年度回報）：
$$ R_{G} = \sqrt[10]{1 + AR} - 1 \ [eq. 7] $$ 現在插上 $ [eq. 5] $ 和 $ [eq. 2] $ :
$$ = \sqrt[10]{1 + (1+R_{1})(1+R_{2}) \ … \ * (1+R_{10}) - 1} -1 $$ $$ = \sqrt[10]{(1+R_{1})(1+R_{2}) \ … \ * (1+R_{10})} - 1 $$ 這與 $ [eq. 4] $
這樣您就可以看到兩種方法都應該給出相同的結果。如果不是，那麼要麼是計算錯誤/四捨五入問題，要麼您使用了不同的方法，而有人沒有計算實際的幾何平均回報率。
我希望現在你能找到問題所在。