索洛模型的增長率
考慮以下 Cobb-Douglas 生產函式： $$ Y_t=\bar AK_t^{1/3}\bar L^{2/3} $$
該方程在連續時間內人均 GDP 的增長率為 $ \frac{y’_t}{y_t}= \frac{1}{3K_t} $ 在哪裡 $ y_t=\frac{Y_t}{\bar L} $
使用資本運動定律：
$$ \Delta K_{t+1}=\bar sY_t-dK_t \implies \frac{\Delta K_{t+1}}{K_t}=\bar s \frac{Y_t}{K_t}-d $$
在哪裡 $ \bar s $ 代表儲蓄率。
穩定狀態下的資本產出比： $$ \frac{K^}{Y^}=\frac{\bar s}{\bar d} $$
在哪裡 $ \bar d $ 代表折舊率
證明人均GDP增長率等於 $$ \frac{1}{3} \bar s \frac{Y^}{K^} (\frac{(K^*)^{2/3}}{K_t^{2/3}} -1) $$
我不知道我應該如何從 $ \frac{y’_t}{y_t}= \frac{1}{3K_t} $ ，因為這似乎不是通過替換得出的。
經過一番工作，我意識到下面的等式有點像：
$$ \frac{1}{3} \bar s \frac{Y^}{K^} (\frac{(K^*)^{2/3}}{K_t^{2/3}} -1) =\frac{1}{3} \bar d \frac{\Delta K_{t+1}}{K_t} $$
如果有人可以為我提供一些關於我應該如何繼續前進的建議，我將不勝感激！非常感謝！
我沒有直接看到你應該從這個增長率方程中得到什麼直覺，以及由此產生的數學練習，但這裡是證明的草圖。
首先通過設置確定穩態資本 $ \Delta K_{t+1}=0 $ 並解決 $ K^* $ .
將此值替換為 $ (K^)^{(2/3)} $ 在分數。更換 $ \frac{Y^}{K^*} $ 在同一個表達式中，你得到資本產出穩態比率的值，併計算 $ d $ 放入括號中。
你現在的表達式可以顯示為與增長率相同 $ y_t $ 這可以從生產函式中找到。