對數正態增長是否有一種易於實施的替代方案（尾巴較粗的東西）？
我在 Excel 中有一個用於投資組合增長的玩具模型。我假設 iid 對數正態年增長因子：
=EXP(mu+sigma*NORM.S.INV(RAND()))其中 mu 和 sigma 計算得到正確的給定均值和標準差。
我真的很想玩一些尾巴更胖但均值和標準差相同的東西。
您是否有一個易於實施的建議（在一個單元中）？您能否指出如何在給定均值和標準差的情況下計算其參數？最後，如果有一個額外的參數，你能否為它提供一個“合理”的值（年回報，一個投資組合中的一堆資產類別）？那太好了。
如果你的意思是肥尾只是比高斯分佈更肥的尾巴，即具有有限變異數的分佈，例如學生的 t 分佈比正態分佈有更肥的尾巴。如果您的意思是具有無限變異數的分佈，則必須查看Lévy 分佈。在第一次嘗試中，您可以將標準正態分佈替換為學生的 t 分佈。你的公式看起來像這樣：
=EXP(mu+sigma*T.INV(RAND(),DoF))對於自由度 ( $ \operatorname{DoF} $ ) 你必須指定一個整數，最好是 $ \operatorname{DoF}>2 $ 所以變異數是有限的。為了 $ \operatorname{DoF}\to\infty $ 學生的 t 分佈收斂於標準正態分佈。越小 $ \operatorname{DoF} $ ，尾巴越肥（到極端 $ \operatorname{DoF}\leq 2 $ 變異數不存在並且對於 $ \operatorname{DoF}\leq 1 $ 期望不存在）。
一些注意事項：您可以像使用標準正態分佈一樣縮放學生的 t 分佈，但重新縮放的參數 $ \sigma $ 不是標準差。看看學生 t 分佈的縮放行為。要獲得正確的變異數，您必須按比例縮放
$$ \sigma := \sqrt{\operatorname{Var}\left[X\right]\frac{\operatorname{DoF}-2}{\operatorname{DoF}}} \textrm{,} $$ 在哪裡 $ \operatorname{Var}\left[X\right] $ 表示重新調整的學生 t 分佈的變異數 $ X:=\mu+\sigma T $ 和 $ T\sim t\left(\operatorname{DoF}\right) $ . 預期值 $ \mu $ 是一樣的。合理的價值觀 $ \operatorname{DoF} $ 是 $ 3,\ldots,30 $ ，尾巴越小越胖。 這 $ \operatorname{exp} $ 模型中的函式將瞬時回報轉換為正常增長因子。
第二個警告：通常你會模擬一個隨機過程的實現，它的分佈如下 $ \mathcal{N}\left(\mu,\sigma^{2}\right) $ . 您可以將此日誌回報相加以獲得總體回報。和 $ \operatorname{exp} $ 你回到你的投資組合的價值過程。這是有效的，因為高斯隨機變數的總和保持高斯。事實上，由於中心極限定理，具有有限變異數且不太依賴的隨機變數之和將在分佈中收斂到高斯分佈。因此，如果您使用學生的 t 分佈隨機變數而不是高斯隨機變數複製所描述的策略，並且 $ \operatorname{DoF}>2 $ （有限變異數），所得總和將在分佈中收斂到高斯分佈，您將失去學生 t 分佈的肥尾屬性。