Bjork 練習 7.6：依賴於的聲明噸1噸1T_1和噸0噸0T_0
請參閱此處練習 7.6 的解決方案。
解決方案計算 $ E^Q (S(T_1)/S(T_0)) $ 然後將其代入風險中性估值公式。但為什麼？風險中性估值公式適用於依賴於 $ T $ 獨自的。為什麼它也可以用於索賠取決於另一個日期的這種情況？
我的解決方案類似，但我仍然不相信它。我如何使用一個定理來解決與這個不同的問題，其中索賠取決於多個日期？
提供償付的或有債權的估值公式 $ T $ , 如今天所見 $ t $ 知道底層證券目前的價值 $ s $ 讀
$$ \Pi(t,s) = e^{-r(T-t)} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ f(S_T) \mid \mathcal{F}t \right] $$ 在哪裡 $ f(S_T) $ 是個 $ \mathcal{F}T $ -您的或有索賠的可衡量的回報。 在你提到的練習中，我們有 $ t < T_0 < T_1=T $ 隨著 $ f(S{T_1}) = \frac{S{T_1}}{S_{T_0}} $ .
因為 $ f(S_{T_1}) $ 是 $ \mathcal{F}{T_1} $ 可測量的（在 $ T_1 $ 你都“知道” $ S{T_0} $ 和 $ S_{T_1} $ ) 那麼你就可以無縫地使用標準估值公式來寫：
$$ \Pi(t,s) = e^{-r(T_1-t)} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{S_{T_1}}{S_{T_0}}\mid \mathcal{F}_t \right] $$
現貨價格過程由恆定係數幾何布朗運動驅動。因此，比率 $ S \left( T_1 \right) / S \left( T_0 \right) $ 是
- 獨立於 $ \mathcal{F} \left( T_0 \right) $ 和
- 它的分佈只取決於時間間隔的長度 $ T_1 - T_0 $ .
它遵循
$$ \begin{equation} S \left( T_1 \right) / S \left( T_0 \right) \sim S \left( T_1 - T_0 \right) / S(0), \end{equation} $$ 在哪裡 $ \sim $ 表示分配均等。即解決方案與只涉及單一日期的解決方案相同 $ T_1 - T_0 $ . 請注意，在支付函式由下式給出的一般情況下 $ f \left( S \left( T_0 \right), S \left( T_1 \right) \right) $ ，這可能不再成立。