Kolmogorov 方程的直覺

所以我理解 Kolmogorov Forward and Backward Equations 的推導，但我不太理解直覺。以下來自斯託基，2008 年：

“後向方程涉及時間 $ t $ 和初始條件 $ x $ , 與目前狀態 $ y $ 固定。一個類似的 PDE，即 Kolmogorov 正向方程 (KFE)，涉及 $ t $ 和 $ y $ , 初始狀態 $ x $ 固定的。如果存在極限分佈，前向方程可用於表徵極限分佈。”

兩者在什麼情況下出現？例如，如果我知道目前狀態並且對可能的初始狀態的機率分佈感興趣，我會使用反向方程。如果我知道目前狀態並且對未來狀態的機率分佈感興趣，我會使用前向方程。它是否正確？

在更技術性的說明中，如何定義這些 PDE 的邊界條件？邊界條件是推導的結果嗎？也許斯託基不是這個主題的最佳參考……

我將嘗試回答您的最後一個問題。我沒有讀過論文，但是在更高維度的模型中，總是很難找到解析解。如果存在解析解（對於具有單態變數的非常基本的模型），則可以從微分方程中導出控制變數和狀態變數的初始條件。

但是，在不存在解析解的系統中，您應該以數值方式求解，在這種情況下，您必須為您的一個變數提供一個數值（或更多，直到您找到所有變數的穩態值。）

之後，您可以找到變數的穩態值，在這種情況下，您的初始條件不應離穩態水平太遠（否則，如果您不選擇合適的模型，您的模型會出現一些收斂問題初始值，接近穩定狀態。這是另一個問題。）

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/8193