連續時間匹配問題
讓我們將每個時期分為 $ n $ 間隔。有一個連續體 $ u $ 失業和 $ v $ 的職位空缺。在每個區間內，總共有 $ X/n $ 工作邀請。這意味著每個失業者都有可能獲得工作機會 $ X/(nu) $ （假如說 $ n $ 最終是如此之小，以至於同一個人獲得多個工作機會的機會將為零）。
單個人間隔內的工作機會數量 - 對於單個人 - 分佈 $ Binomial(k, n, \frac{X}{un}) $ . 讓 $ n\to\infty $ , 連續時間模擬中的分佈收斂到 $ Poisson(k, \frac{X}{u}) $ .
我對機率感興趣 $ x $ 在整個間隔期間獲得至少一個工作間隔的個人。那是 $ (1 - Binomial(0, n, \frac{X}{nu}))^x $ :
$$ (1 - (1 - \frac{X}{un})^n)^x $$ 如果我沒記錯的話，連續時間模擬是
$$ (1 - e^\frac{-X}{u})^x $$ 那是對的嗎？指數函式和冪函式的結合讓我很不舒服。
您可以用作檢查的另一種近似方法可能是說有 $ X $ 工作機會總數和 $ u $ 失業。
所以一個人沒有得到特定工作機會的機率是 $ \left(1-\dfrac{1}{u}\right) $ 所以這個人沒有得到任何工作機會的機率是 $ \left(1-\dfrac{1}{u}\right)^X $ 這是 $ \left(\left(1-\dfrac{1}{u}\right)^u\right)^{x/u} \approx e^{-X/u} $ 正如人們對Poisson分佈所期望的那樣。您的符號有誤 $ e^{-X/u} $ .
這使得個人確實獲得工作機會的機率約為 $ 1-e^{-X/u} $ . 它使收到工作機會的預期人數約為 $ u(1-e^{-X/u}) $ .
的機率 $ y $ 個人獲得工作機會（而不是 $ x $ 正如你已經使用過的 $ X $ ) 則大致是二項式 $ \displaystyle {y \choose u}\left(1-e^{-X/u}\right)^y e^{-(u-y)X/u} $ 或者如果你想要一個Poisson近似，那麼大約 $ \dfrac{e^{-u\left(1-e^{-X/u}\right)}u^y\left(1-e^{-X/u}\right)^y}{y!} $ 你可以對此應用進一步的近似值，但它不會變得更整潔
是的，這是正確的。您可以（例如）編寫泰勒展開式：
$$ \begin{align*} [1-(1-\frac{x}{un})^n]^x & = [1-e^{n ln(1-\frac{x}{un})}]^x \ & = [1-e^{n (-\frac{x}{un} + o(\frac{1}{n}))}]^x \ & = [1-e^{-\frac{x}{u} + o(1)}]^x \ & \sim [1-e^{-\frac{x}{u}}]^x \text{ when } n \rightarrow +\infty \end{align*} $$