一個連貫的風險度量是否滿足馮諾依曼-摩根斯坦的四個公理？
Artzner 等人 (1999) 的連貫風險度量公理與 von Neumann-Morgenstern (1944) 的預期效用理論公理之間有什麼關係？
馮諾依曼-摩根斯坦效用公理是理性選擇的規範標準。相比之下，他的 Artzner/Uryasev 公理是一些人認為任何旨在衡量投資組合風險的措施都必須遵守的規範性標準。
它們的共同點只是它們都是規範性標準。然而，公理的實質是不同的，因為它們涵蓋不同的領域。
在效用理論的情況下，公理表示對理性代理人的偏好的約束。不持有其中一個公理的投資者可能會通過一系列賭博或選擇而被剝奪財富。（了解這一點的最簡單方法是想像與偏好不具有傳遞性的個人進行遊戲。）
連貫的風險度量是一些人認為風險度量必須滿足的規範性主張。例如，我們大多數人很容易同意“子可加性”公理，該公理指出兩個投資組合的風險不能比兩個單獨的風險具有更大的風險（由於分散化）。諸如風險價值之類的某些度量不滿足此屬性，而諸如條件風險價值之類的其他度量則可以。在最壞的情況下，投資組合完全相關，因此沒有多元化收益。因此，Artzner/Uryasev 會爭辯說，當兩種資產合併時，任何可以顯示投資組合風險增加的風險度量（例如風險價值）都是不連貫的。
還有其他公理支配相關領域，例如歐幾里得幾何公理或機率三公理。在所有情況下，公理 i) 為發展作為公理函式的理論奠定了基礎（例如勾股定理、條件機率或貨幣效用理論），ii) 公理允許我們測試我們的信念是否符合規範期望已應用，具有實用價值。
題外話：有趣的是，在每種情況下，都存在放鬆一個公理並開闢新的科學分支的情況。例如，取消“平行線永不相交”的要求開啟了黎曼幾何的思想。您可以爭辯說，行為金融學和有限理性涉及放鬆一個或多個 VNM 效用公理。
對於完備性，馮諾依曼-摩根斯坦效用公理是完備性、傳遞性、連續性和獨立性。
- 完備性意味著對於每一對選擇，代理人偏好 A 勝過 B，偏好 B 勝過 A，或無動於衷
- 傳遞性意味著如果投資者偏好 A>B，且 B>C，則投資者偏好 A>C
- 連續性要求投資者的偏好是連續的
- 獨立性假設即使引入了第三次獨立賭博，偏好（例如在賭博 A 和賭博 B 之間）也獨立保持。請注意，這有點爭議——請參閱 Ellsberg Paradox 以了解原因
連貫的風險措施是：
- 標準化——不持有資產意味著零風險
- 單調性——如果在任何情況下，投資組合 A 的損失小於投資組合 B，則投資組合 A 的風險低於投資組合 B
- 次可加性——單獨添加兩個風險時，投資組合風險不會增加
- 積極的同質性——你的頭寸規模翻倍，你的風險翻倍
- 平移不變性——任何時候您將現金添加到投資組合中，都可以降低投資組合風險
另請參閱這篇文章，了解有關連貫風險度量屬性的更多資訊。