預期短缺子可加性的證明
我在第 5 頁https://faculty.washington.edu/ezivot/econ589/acertasc.pdf找到了關於預期短缺的子可加性的證明。我總體上理解了這個展示，但我想澄清這個疑問：我們可以說（9）公式的第一邊總是<=而不是第二邊的確切原因是什麼？我認為這可以用三角不等式來解釋，但我認為它不起作用。
根據您之前的問題，請在您的問題中提供更多詳細資訊。快速提示：
在我看來，在 LHS 上你的表現最差 $ \omega $ 的實現 $ X + Y $ 在 RHS 上，你的情況最糟糕 $ \omega $ 分別實現它們。如果 $ X $ 和 $ Y $ 不完全相關 $ X $ 和 $ Y $ 不會匹配所以最壞的 $ X $ 可能會通過實現從 $ Y $ 這還不是最糟糕的。因此，RHS 的價值至少總是一樣高。例如，考慮以下實現：
$$ X = -10, 0, 10 \textrm{ and } Y = 10, 0, -10 $$
讓隨機變數 $ X,Y $ 對應於兩種資產的損失分佈。我們同時投資，因此有損失分佈 $ L = X + Y $ .
為了 $ n $ 實現，表示訂單統計 $ L $ 作為： $ L^{(1)} \leq L^{(2)} \leq … \leq L^{(n-1)} \leq L^{(n)} $
鑑於 $ \alpha $ 超過百分位情況。服用 $ n $ 足夠大和設置 $ m = \lfloor (1-\alpha) n \rfloor $ 作為超過這個百分位水平的觀察數量，我們有估計量：
$$ ES_{\alpha} = \frac{\sum_{i=0}^{m-1} L^{(n-i)}}{m} = \frac{\sum_{i=0}^{m-1} (X+Y)^{(n-i)}}{m} $$
對於您的問題：
分子， $ \sum_{i=0}^{m-1} L^{(n-i)} $ , 是總和 $ m $ 的最大值 $ (X+Y)_{1:n} $
然而，最大值 $ X+Y $ 不對應於最大值 $ X $ 和 $ Y $ .
我們可以有： $ X_{1:3} = (3, 0, 5) $ , $ Y_{1:3} = (3, 4, 0) $ 所以 $ (X+Y)_{1:3} = (6, 4, 5) $
因此 $ (X+Y)^{(3)} = 6 $ .
然而 $ X^{(3)} + Y^{(3)} = 5 + 4 = 9 $
你對三角不等式的一般概念是正確的，這篇論文並沒有很好地說明它。
$$ \sum_{i=0}^{m-1} (X+Y)^{(n-i)} = \sum_{i=0}^{m-1} X^{(n-i)} + \sum_{i=0}^{m-1} Y^{(n-i)} $$