為什麼F(t,u)≠和問噸[r(u)]F(噸,在)≠和噸問[r(在)]f(t,u) neq E_t^Q [r(u)]什麼時候rrr是隨機的嗎？
如果我假設短期利率 $ r $ 確定性和風險中性度量 $ Q $ ，我可以寫如下：
$$ f(t,u) = -\frac{d}{du}\ln P(t,u) = -\frac{d}{du} E_t^Q \left[ e^{-\int_t^{u}r_sds} \right] = E_t^Q \left[ \frac{d}{du} \int_t^{u}r_sds \right] = E_t^Q \left[ \frac{d}{du} (R_u - R_t) \right] = E_t^Q [r_u] $$
和 $ f $ 瞬時遠期利率和 $ P $ 零息債券的價格。
現在我想知道，這裡的哪一個等式在什麼時候不成立 $ r $ 是隨機過程嗎？請問有什麼幫助嗎？
你的方程式有缺陷。如果該過程也沒有期望 $ {r_s} $ 是確定性的。
正確的推理是，假設 $ {r_s} $ 是隨機的： $$ f(t,u)=-\frac{d}{du}\ln P(t,u)=-\frac{\frac{d}{du}P(t,u)}{P(t,u)}\ =-\frac{\frac{d}{du}E^Q_t[e^{-\int_t^u r_s ds}]}{P(t,u)} =\frac{E^Q_t[e^{-\int_t^u r_s ds} r_u]}{P(t,u)} =E^Q_t\left[\frac{e^{-\int_t^u r_s ds}}{P(t,u)} r_u\right]\ =E^{Q^u}_t[r_u] $$ 在哪裡 $ Q^u $ 是個 $ u $ -前向測量（與相關的測量 $ P(.,u) $ 作為 numeraire) 定義為 $$ \frac{dQ^u}{dQ}=\frac{e^{-\int_t^u r_s ds}}{P(t,u)} $$
如果 $ {r_s} $ 那麼是確定性的 $ \frac{dQ^u}{dQ}=1 $ ，即兩個度量是相同的。