來自“Paul Wilmott 介紹量化金融”的關於鍛煉的問題

我是這個論壇的新手，我剛剛開始我的財務冒險，所以請耐心等待。

我正在解決“Paul Wilmot 介紹量化金融”中的練習，我遇到了以下任務（練習 6，第 1 章）：

特定的遠期合約在時間$t$時無需花費任何成本， 並要求持有人在到期時 以$F$的金額購買資產， $T$。資產在時間$t_d$支付股息$DS$，其中$0\le D\le 1$和 $t \le t_d \le T$。使用套利參數來找到遠期價格 $F (t)$。

還有一個提示：

提示：當股息立即重新投資於資產時，請考慮契約作者的觀點。

據我了解，因為沒有套利機會，我應該一無所獲。因此，這意味著我從銀行賬戶的股息或利率中獲得的所有利潤都等於$F$。

這是我的計劃如何評估$F(t)$

1. 為了從特定股票中獲得股息，首先我必須購買他們的股票。( $-S(t)$ )
2. 我得到了紅利（$+DS(t_d)$）
3. 我賣掉股份（$+S(t_d)$）
4. 假設$(D+1)S(t_d)-S(t)>0$我可以把它存入我的銀行賬戶，利率為$r$，所以我這樣做了，在我賺了$T-t_d$之後$[(D+1)S(t_d)-S(t)]e^{r(T-t_d)}$
5. 這被成本$F$減少了，所以： $F(t) = [(D+1)S(t_d)-S(t)]e^{r(T-t_d)}$

但是官方答案（<https://www.wiley.com/legacy/wileychi/pwiqf2/supp/c01.pdf>）是$F(t) = (1-D)S(t)e^{r(Tt)} $我不明白他的解釋。

如果有人解釋我為什麼錯了，我將不勝感激。

您應該比較兩種自籌資金策略的$t$值，假設存在無風險貨幣市場賬戶並且股息是確定性的，但與隨機股票價格成正比。

策略 1 - 簽訂遠期合約

• 在開始時（$t=0$），根據定義，您無需支付任何費用，$\Pi_1(0)=0$
• 到期時 ( $t=T)$，您支付遠期價格並收到股票（無論是現金/實物結算）：$\Pi_1(T)=-F(0,T)+S(T)$

策略 2 - 現金和套利，假設按比例分紅

• 在開始時（$t=0$），您借入現金併購買股票，$\Pi_2(0)=-S(0) + S(0) = 0$
• 在除息日 ( $t=t_d$ )，您將收到$DS(t_d)$作為額外現金收益。您目前的現金餘額為$\Pi_2(t_d) = -S_0 e^{rt_d} + DS(t_d) + S(t_d)$，第一個反映了您需要返還給貸方（借款）的金額，第二個現金來自股息，最後是你的多頭股票。
• 到期時 ( $t=T$ ) 你剩下 $$ \Pi_2(T) = -S(0) e^{rT} + DS(t_d) e^{r(T-t_d)} + S(T ) $$這與$t=t_d$ 的想法相同，只是所有現金都以無風險利率增長。

無套利定價

假設您創建了一個策略$\Pi$，您同時實現了多頭策略 1 和空頭策略 2。$\Pi$按照設計以零成本輸入。因此，它在$T$的支出應該為零，以排除任何套利機會： $$ \Bbb{E}_0[ \Pi(T) ] = \Bbb{E}_0[ \Pi_1(T) - \Pi_2( T) ] = \Bbb{E}_0[ - F(0,T) + S(T) + S(0) e^{rT} - DS(t_d) e^{r(T-t_d)} - S (T) ] = 0 $$ 產生 \begin{align} F(0,T) &= \Bbb{E}_0[ S(0)e^{rT} - DS(t_d)e^{-rt_d} e^{rT} ] \ &= (S(0) - D \Bbb{E}_0[ S(t_d)e^{-rt_d} ]) e^{rT} \ &= S(0)( 1 - D)e^{rT} \end{align} 如果最後一行利用了任何資本分配之間的事實（即在股息支付之前），則投資股票構成了一種自我融資策略（因此以無風險計價表示的股票定價，即貼現的股票價格，應該是鞅）。

REM我剛剛看到，在您的 OP 中，您考慮了一個通用的$t$因此到期時間$Tt$，我只是給出了$t=0$的範例，因此到期時間$T$（概括應該很簡單）

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/66223