如何計算遠期合約的CVA？
我在計算遠期合約的 CVA 時遇到問題。問題如下
問題：
黃金的遠期多頭頭寸還剩 2 年。交易對手只能在第 1 年或第 2 年末違約。這些時間點的違約機率分別為 1% 和 4%。假設回收率為 40%，無風險率為 2%
遠期合約以 1,400 美元訂立，2 年期黃金遠期目前的遠期價格為 1,445 美元，預期波動率為 19%。計算該合約的 CVA。
回答：
曝光在 $ t=1 $ 和 $ t=2 $ 分別為 125.23美元和 167.01美元，總 CVA 為 4.760 美元。
我的嘗試：
一般的直覺是有時首先計算風險敞口（由於交易對手風險給投資者帶來的潛在損失） $ t=1 $ 和 $ t=2 $ . 我們會讓
- $ v_{t} $ 是當時的曝光值 $ t $ .
- $ c(T,K) $ 是在某個時間到期的遠期價格基礎上的歐式看漲期權的價值 $ T $ 以行使價 $ K $ .
現在，第一次曝光發生在 $ t=1 $ 這實際上與遠期合約的價值有關。此外，遠期假設在到期時結算。因此，契約的風險暴露在 $ t=1 $ 是
$$ \begin{align} v_{1} =& \mathrm{max}((F_{1}-1400)e^{-2%\cdot1},0) \ =& e^{-2%\cdot 1} \mathrm{max}(F_{1}-1400,0) \ =& e^{-2%\cdot 1} c(1,1400) \end{align} $$ 也就是曝光時間 $ t=1 $ 是 $ e^{-2%\cdot 1} $ 歐式看漲期權的倍數，到期時間為 $ 1 $ 年份和行使價 $ 1,400 $ . Black-Scholes Merton 對此的估值為129.04美元。因此曝光是
$$ v_{1} = e^{-2%\cdot 1}\times$129.04. $$ $$ v_{1} = $126.48 $$ 類似的結構可以在曝光進行 $ t=2 $ . 那是
$$ \begin{align} v_{2} =& \mathrm{max}(F_{2}-1400,0) \ =& c(2,1400) \end{align} $$ 即到期的歐式看漲期權 $ 2 $ 年和行使價 $ 1,400 $ . 看漲期權的價格為168.69美元，風險敞口為 $ t=2 $ .
由於回收率為 40%，因此損失率為 60%。因此我們預計會輸
$$ \begin{align} \mathrm{Loss}(v_{1}) =& 60%\times126.48 = $75.89 \ \mathrm{Loss}(v_{2}) =& 60%\times168.69 = $101.21 \ \end{align} $$ 最後，我們考慮每年的機率並得出 CVA。那是，
$$ \begin{align} \mathrm{CVA} =& 1%\times75.89 + 4%\times101.21 \ \mathrm{CVA} =& 4.81 \ \end{align} $$ 總之，我的答案是
- $ v_{1} = 126.49 $
- $ v_{2} = 168.69 $
- CVA = 4.81
這與公開的答案不同
曝光在 $ t=1 $ 和 $ t=2 $ 分別為 125.23美元和 167.01美元，總 CVA 為 4.760 美元。
我不確定所披露的答案是否正確。但是，如果有人可以通過我的工作並發現錯誤或提供解釋，將不勝感激
尋求支持：風險管理和金融機構 4ed。John C. Hull, Pg 440 展示了一個類似的例子。
實際上，問題在於第二年的違約機率取決於第一年的違約。所以你必須乘以 4%101.2199%，因為 1% 的時間它已經在第一年違約了
計算正確；我玩了一下參數，似乎無風險利率不是 2%，而是 2.5%。給定這個輸入，暴露是 125.23 和 167.01，如提供給您的答案中所給出的。CVA 也匹配，通過這些曝光，它變為 4.76。