如何得出具有連續股息的股票的遠期價格
讓 $ F_{t,T} $ 是股票的遠期價格 $ S $ 有時 $ T $ 和 $ t $ 成為目前時間。股票按比例支付連續股息，利率為 $ q $ 無風險利率為 $ r $ . 我怎樣才能證明價格是由 $ F_{t,T} = S_{t}e^{(r-q)(T-t)} $ ，最好沒有套利的論點？
在沒有股息的情況下，我知道可以通過沒有套利的論點來進行推導：遠期收益 $ T $ 是 $ S_{T}-F_{t, T} $ ，所以一個複制投資組合由一個目前價格的股票組成 $ S_t $ 和 $ F_{t, T}e^{-r(T-t)} $ 現金單位。自從 $ F_{t,T} $ 選擇使前向零的初始值，我們有 $ F_{t,T} = S_te^{rt} $ .
在股息的情況下，我不確定最終的回報應該是多少。我覺得我們需要減去股息的累積值，但我不確定它應該採取什麼形式才能得到 $ F_{t,T} = S_{t}e^{(r-q)(T-t)} $ . 我最初的猜測是 $ \text{AV}(\text{div}){T} = \int{t}^{T}q S_t dt $ ， 自從 $ qS_tdt $ 是每股股息支付 $ [t, t+dt] $ ，但這似乎是錯誤的，因為我不知道如何刪除積分。
**注意：**如果可能，我不想參考風險中性措施或 Black-Scholes 框架。我相信等式 $ F_{t,T} $ 只要沒有套利就應該持有，但如果我在這裡錯了，請糾正我。
當股息收益率 $ q $ 是恆定的，實際上可以在沒有模型假設的情況下推導出一個非常簡單的正向公式 $ S_t $ （見下文（4））。僅不需要套利參數：
遠期價格 $ F_t $ 成熟的 $ t $ 根據定義是方程的解 $$ \tag{1} \mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s),ds}\right]F_t-\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t\right]=0, $$ 在哪裡 $ \mathbb E $ 是風險中性測度下的期望值。這個方程意味著這個方程中兩個現值的差應該相等。這是一個沒有套利的論點，說今天的承諾是按時購買股票 $ t $ 對於固定價格 $ F_t $ 應該和以當時的價格購買它一樣值錢 $ t $ . 我認為我們不能避免在這裡提到風險中性措施。
旁注： 當股票支付股息時，縮水的股價是不正確的 $$ e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t $$ 是鞅。但相反（見
$$ 1 $$) 沒有套利理論規定該過程 $$ \tag{2} M_t:=e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t+D_t $$ 是鞅 $ D_t $ 是直到時間支付的所有股息的路徑現值 $ t, $ : $$ D_t=\int_0^tq,S_ue^{-\int_0^ur(s),ds},du,. $$ 為了更好地理解這一點，請注意由股票加上過去的股息組成的投資組合，當它們被放入貨幣市場賬戶時，是 $$ \Pi_t=S_t+\int_0^t q,S_u,e^{\int_u^tr(s),ds},du,. $$ 這是一種不支付股息的資產。因此 $ e^{-\int_0^tr(s),ds}\Pi_t $ 必須是鞅，它顯然等於 $ M_t,. $
從（1）， $$ \tag{3} F_t=\frac{\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t\right]}{\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s),ds}\right]},. $$ 讓我們寫 $$ p_t:=\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s),ds}\right],,\quad\tilde F_t:=p_t,F_t,. $$ 然後從（2）和事實 $ M_t $ 是鞅， $$ \begin{align} S_0&=M_0=\mathbb E\left[e^{-\int_0^tr(s),ds}S_t\right]+\int_0^t q,\mathbb E\left[S_u,e^{-\int_0^ur(s),ds}\right],du\ &=p_t,F_t+\int_0^tq,p_u,F_u,du,\ &=\tilde F_t+\int_0^tq,\tilde F_u,du,. \end{align} $$ 分化產量 $$ \frac{d}{dt}\tilde F_t+q,\tilde F_t=0,. $$ 這個 ODE 的解是 $$ \tilde F_t=\tilde F_0e^{-q t}=F_0e^{-qt}=S_0e^{-q t},. $$ 換句話說： $$ \tag{4} \boxed{F_t=\frac{S_0e^{-q t}}{p_t},.} $$ 唯一的模型假設 $ S_t $ 是不是股息收益率 $ q $ 是恆定的。
當利率不變時，這簡化為已知公式 $$ \boxed{F_t=S_0e^{(r-q) t},.} $$
$$ 1 $$D. Duffie，*動態資產定價理論。*普林斯頓大學出版社，1991 年。