選擇對應書寫方式
我的問題是關於以下符號：
我注意到在幾個地方（例如這裡（第 15 頁）和這裡（第 1 頁）），不同的作者使用不同的符號來表示選擇對應。給定一個集合 $ X $ 可能被選擇的對象和非空子集的集合 $ \mathcal{A} $ 的冪集 $ X $ , 一些使用
- $ c:\mathcal{A} \rightarrow 2^{X}\backslash \emptyset $ （如第二個連結）
- $ c:\mathcal{A} \rightarrow 2^{X}\backslash { \emptyset} $ （如在第一個連結中）
他們都想表達選擇對應的共域必須包括 X 的冪集的所有非空子集，即從任何選項菜單中，您必須選擇某些東西。
我的問題是，哪一種是定義它的正確方法？顯然，由於 $ \emptyset \neq {\emptyset} $ , 兩個定義不能等價。
我的直覺會告訴我，從上面的列表中，（1）是正確的。例如，如果 $ X={\text{pasta (p)}, \text{chicken (c)}, \text{sushi (s)}} $ , 那麼冪集 $ X $ 是：
$$ 2^{X}=\Bigg{\emptyset, {p }, \ {c }, {s }, {p,c }, {p,s } , {c,s }, { p,c, s} \Bigg} $$ 因為我想從 $ 2^{X} $ 使得從任何非空子集中的選擇 $ X $ 本身是非空的，並且因為 $ {\emptyset} \notin 2^{X} $ ， 它應該是
$$ c:\mathcal{A} \rightarrow 2^{X}\backslash \emptyset $$ 感謝您的任何回答！
“1。” 是錯誤的和“2”。是正確的，因為（參見例如Wolfram）：
$$ A \setminus B = {x: x \in A \text{ and } x \notin B} $$ 比如說我們有 $ S = {a, b, c} $ 和 $ T = {b,c} $ .
然後我們會寫 $ S \setminus {a} = T $ . 我們不寫 $ S \setminus a = T $ .
所以一般來說，對於任何集合 $ S $ , $ S\setminus \emptyset =S $ .
我們寫 $ 2^{X}\backslash {\emptyset} $ 因為 $ \emptyset \in 2^X $ . 相比之下，我們有 $ 2^{X}\backslash \emptyset = 2^{X} $ .
**例子。**套裝 $ S $ 包含四個元素：空集，一個元素叫做 $ a $ ，包含空集的集合，以及包含 $ a $ .
$$ S=\Bigg{\emptyset,a,{\emptyset },{a }\Bigg}. $$ 然後我們有：
$$ \begin{align} S \setminus \emptyset & = S \ S\setminus{\emptyset}& = \Bigg{a,{\emptyset },{a }\Bigg}, \ S\setminus{{\emptyset}}& = \Bigg{\emptyset,a,{a }\Bigg}, \ S\setminus{a}& = \Bigg{\emptyset,{\emptyset },{a }\Bigg}, \ S\setminus{a,{\emptyset}}& = \Bigg{\emptyset,{a }\Bigg}, \ S\setminus{{a,\emptyset}}& = S. \end{align} $$ 最後一個等式是正確的，因為 $ S $ 不包含集合 $ {a,\emptyset} $ .
請參閱 Enderton，尤其是第 3 頁的頂部段落——如果只在第一章上花一點時間，那是非常值得的。