計算正態/對數正態分佈選項的機率：時間有影響嗎？

我試圖計算日曆價差導致到期時獲利的機率，當估計它被建模為對數正態分佈時，通過獲得：

P(a <= x <= b) = CDF(b) - CFA(a)

其中 a 和 b 是到期時的盈虧平衡點。

但是有一點我不明白：

1. 我應該使用哪個值作為變異數？即將到期的 ATM 期權的 IV？下面的股票/指數的IV？
2. 時間真的很重要嗎？我的意思是，由於對數正態分佈（如scipy/numpy庫中所定義）只需要均值和變異數值，因此時間無關緊要，除非您認為波動性取決於 t。如果我得到 2 個日曆的均值和變異數，一個前 mont 在一周內到期，另一個在一年內到期，時間應該以某種方式很重要，從而使分佈 PDF 更寬，從而影響 CDF 的結果。我在這裡想念什麼？

如果 $ S_t $ 是隨機過程，遵循幾何布朗運動，SDE 如下：

$$ dS_t=\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ 然後 $ S_T $ 服從對數正態分佈，例如： $$ S_T|S_t \sim logN\left(lnS_t+ (\mu - \frac{\sigma^2}{2})(T-t), \quad \sigma^2(T-t)\right) $$ 或者 $$ lnS_T|S_t \sim N\left(lnS_t+ (\mu - \frac{\sigma^2}{2})(T-t), \quad \sigma^2(T-t)\right) $$ 正如您所看到的，您將更多地進入未來，漂移和波動性都直接與 $ (T-t) $ 股票價格的對數。這是自然現象。你可能會這樣想，股票價格在一年內表現出的可變性（即 $ T-t=1 $ ) 遠不止在一分鐘或一天內顯示的可變性（即 $ T-t=\frac{1}{365} $ ).

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/24448