通過蒙地卡羅進行的深度 ITM 呼叫隱含波動率
假設我已經使用蒙地卡羅計算了通話價格 $ S_0 = 100 $ 和 $ K = 80 $ ， 使用 $ T = 0.1 $ 和 $ r = 0 $ 成為 $ $20.00095 $ . 此價格估算附帶 $ 95% $ 信賴區間 $ [19.99969 , 20.00221] $ . 那麼，問題是試圖估計隱含波動率，包括信賴區間，因為 $ 95% $ 價格的下限低於內在，因此逆問題沒有解決方案。
即使我們將信賴區間設置為 $ [20, 20.00221] $ ，隱含的 vol 估計將是 $ 0.2172 $ 與 $ 95% $ 信賴區間 $ [0, 0.2324] $ , 傳播巨大。
我已經在使用大量的股票價格來獲得如此緊密的信賴區間，所以我不希望僅僅增加模擬的數量。在這種情況下，所有路徑都以金錢結束。是否有一種減少變異數的技術來處理這些深層次的 ITM 問題？
$$ Short answer $$
恕我直言，想要從深度 ITM 期權的價格中提取合理的隱含波動率數字存在根本問題。您應該改用價外遠期期權 (OTMF)：看跌期權的行使價小於遠期價格（波動率表面的左翼），否則看漲期權（波動率表面的右翼）。
$$ Long answer $$
為了說明我的觀點，讓 $ V $ 表示 $ t $ -歐式期權的價值，我們將其分為 2 個部分
$$ V = V_i + V_e $$ 根據以下思想實驗：
- 內在價值， $ V_i $ , 定義為如果您可以立即行使期權，您將獲得什麼 $ t $ ，或者等效地，如果標的價格在合約到期前被凍結到其目前價值，您的最終收益將是什麼樣子。 $ V_i $ 始終為正（但可以為零）。
- 外在或時間價值， $ V_e $ , 是剩餘部分。它解釋了基礎價格預計會演變而不是保持凍結的事實。 $ V_e $ 可以是正面的或負面的。
通過構造，我們擁有內在價值 $ V_i $ 不依賴於未來的波動性，因為這是我們在假設標的資產保持凍結的情況下定義的。相比之下，時間價值 $ V_e $ 確實取決於未來的波動性，或多或少地取決於剩餘的到期時間 $ \tau = T-t $ 以及目前的現貨價格在哪裡 $ S_t $ 相對於罷工位於 $ K $ .
根據定義，強 ITM 期權的價格基本上對應於內在價值
$$ V = V_i + V_e \approx V_i $$ 因為 $ V_i $ 不依賴於波動率，很難從 ITM 期權價格（分數 $ V_e $ of the option price which truly depends on volatility is very small relative to the full option price $ V $ )
On the contrary, strongly OTM options essentially reflect time value
$$ V = V_i + V_e \approx V_e $$ which makes it easier to imply volatility (the fraction $ V_e $ of the option price which truly depends on volatility is very important relative to the full option price $ V $ )
Hence you should prefer OTM options to ITM options when it comes to inferring implied volatilities.