二叉樹模型不是自籌資金嗎？
考慮一個 2 期二叉樹，其中衍生品價格為 $ f $ 並且股價是 $ S $ . 此外，讓債券具有連續增長率的確定性 $ r $ 和初始值 $ B_0 $ . 二叉樹
回想一下複製策略是在每次 $ t_i $ 抓住 $ \phi_i = \frac{f_{i+1}^{up} - f_{i+1}^{down}}{S_{i+1}^{up} - S_{i+1}^{down}} $ 股票的單位和 $ \psi_i = B_0^{-1} e^{-r(i+1)\Delta t}(f_{i+1}^{up} - \phi_i S_{i+1}^{up}) $ 債券的單位。特別是投資組合的價值 $ 0 $ 是 $ V_0 = \phi_0 S_0 + \psi_0 B_0 $ . 當我們到達時間滴答 1 時，假設我們的股價上漲到 $ S_3 $ . 在重新平衡之前，我們的投資組合值得 $ V_0|{end} = \phi_0 S_3 + \psi_0 B_0e^{r \Delta t} $ ，並且在重新平衡之後是 $ V_1 = \phi_1 S_3 + \psi_1 B_0e^{r \Delta t} $ . 為了自籌資金，我們必須有 $ V_1 - V_0|{end} = 0 $ . 然而，
$$ \begin{align*} V_1 - V_0|{end} & = (\phi_1 - \phi_0)S_3 + (\psi_1 - \psi_0)B_0e^{r \Delta t} \ & = (\phi_1 - \phi_0)S_3 + \left(B_0^{-1} e^{-2r\Delta t}(f_7 - \phi_1 S{7}) - B_0^{-1} e^{-r\Delta t}(f_{3} - \phi_0 S_{3})\right)B_0e^{r \Delta t} \ & = (\phi_1 - \phi_0)S_3 + e^{-r\Delta t}(f_7 - \phi_1 S_{7}) - (f_{3} - \phi_0 S_{3}) \ & = \phi_1 S_3 + e^{-r\Delta t}(f_7 - \phi_1 S_{7}) - f_{3} \ & = \frac{f_{7} - f_{6}}{S_7 - S_6} S_3 + e^{-r\Delta t}(f_7 - \frac{f_{7} - f_{6}}{S_7 - S_6} S_{7}) - f_{3} \ & = \frac{1}{S_7 - S_6} \left((f_{7} - f_{6})S_3 + (S_7 - S_6)e^{-r\Delta t}f_7 - e^{-r\Delta t}(f_{7} - f_{6}) S_{7} - (S_7 - S_6)f_{3} \right)\ & = \frac{1}{S_7 - S_6} \left((f_{7} - f_{6})S_3 - S_6e^{-r\Delta t}f_7 + e^{-r\Delta t}f_{6} S_{7} - (S_7 - S_6)f_{3} \right)\ & \neq 0. \end{align*} $$ 似乎在自籌資金策略上投入了很多精力，實際上二項式表示定理被用來證明它們在二項式模型中的存在。我錯過了什麼嗎？
如果可以，我會添加評論，但沒有足夠的聲譽。你怎麼知道你的最終方程不等於零。這 $ f_i $ 尚未計算 $ S $ . 當然是 $ f_i $ 最終節點集中的節點是已知的，因為它們是根據收益和終端價格定義的。必須計算中間步驟中的那些。
二項式模型當然是自籌資金的。首先，通過使用風險中性評估向後工作來獲得每個節點的值。
然後在每個步驟和節點，您從您所在的位置獲取上節點和下節點中的值。您可以通過兩者擬合一條直線作為庫存的函式。您持有股票和債券以使這條直線與複製投資組合相吻合。設置成本正是您目前所在節點的價格，它是自籌資金的。
我認為您需要閱讀一個更具論述性和更少等式的帳戶（例如，請參閱我的書《概念》）或實際做一個數字範例。