數值範例了解選項 gamma 的影響
期權的 Gamma 是期權理論價值對標的資產的二階偏導數。它應該是 Delta wrt 對底層證券的微小變化的變化率。然而，許多教科書（例如交易期權希臘人，Passarelli）說，伽瑪通常以每美元變動的 Delta 來表示。
假設我們想將 B&S 模型用於非股息支付股票的看漲期權。我們還假設：
- S = 52（底層證券）
- K = 50（罷工）
- tau = 0.25（到期時間）
- r = 0.12（無風險利率）
- sigma = 0.3（標的的波動率）
然後我們有： Call = 5.057387 Delta = 0.7041836 Gamma = 0.04429147
我想估計如果股票從 52 變為 53 時期權價值將如何（在這種情況下，B&S 模型將給出準確答案 Call = 5.783055）。
作為第一個近似值（Delta），我會這樣做：Call = 5.057387 + (53 -52) 0.7041836 = 5.761571（不等於 5.783055）然後我想要更精確，我也可以使用 gamma：新的 Delta應該是 0.7041836 + 0.04429147（每美元變動的伽瑪聲明廣告 Delta）或 0.7041836（1+0.04429147），即 Delta 的變化率。為什麼？
使用我們的好朋友泰勒，我們知道 $$ \begin{align*} C(S+\Delta_S)\approx C(S)+\Delta_C\Delta_S+\frac{1}{2}\Gamma_C(\Delta_S)^2, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \Delta_C $ 和 $ \Gamma_C $ 是呼叫的靈敏度和 $ \Delta_S $ 標的資產價格的微小變化。在你的例子中， $ \Delta_S=1 $ 因此， $$ \begin{align*} C(52+1) &\approx 5.057387 + 0.7041836 + \frac{1}{2}0.04429147 \ &=5.783716335. \end{align*} $$
當然，標的資產價格的變化越小（ $ \Delta_S\to0 $ )，伽馬（和 delta）的影響越低。您甚至可以改進上述近似多項式並包括更高階的導數（三階導數有時稱為“速度”）。