給定路徑的布朗運動粒子接觸障礙的機率開始於X0X0X_0並以一個已知的結尾X噸X噸X_t

我一直在閱讀Su 和 Rieger關於障礙的論文，並從那裡能夠計算出該過程的無條件機率 $ dXt = μ dt + σ dWt $ 觸及向下的障礙 $ α $ 成為

$ \mathbb{P}(\min(x_0\rightarrow _T) ≤ α) = \Phi\left(\frac{α - μT}{σ \sqrt{T}}\right) + \exp\left(\frac{2μα}{σ^2}\right) \Phi\left(\frac{α + μT}{σ\sqrt{T}}\right) $

一切都很好，很好的匹配模擬等等……

但是，我正在尋找一個封閉形式的解決方案 $ \mathbb{P}(\min(x_0\rightarrow _T) ≤ α, |, x_T = X) $ （即兩者 $ x_0 $ 和 $ x_T $ 是已知的。）

感謝 Mark Joshi 在上面的評論中指出我的答案。應該歸功於他。為了完整起見，這裡是問題命名法中表達的答案。

$$ P\textbf{(}min(x_0 \to _T) \leq \alpha:: | :: x_T\textbf{)} =\left{\begin{matrix} e^{-2(\alpha -x_0)(\alpha -x_T)/\sigma ^{2}T} ::::::::\ for: \alpha \leq x_0: and : \alpha \leq x_T
\ \ 1::::::::::::::::::::::::::::::::: Otherwise \end{matrix}\right. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/27683