模擬有和沒有中間路徑的股票價格
因此，我使用通常的 Black-Scholes 框架中的參數（如果我錯了，請糾正我）使用以下公式來模擬股票價格，我認為這是幾何布朗運動：
$$ S_{t} = S_{0}e^{(r-\delta -\frac{1}{2}\sigma^{2})t +z\sigma \sqrt{t}} , $$
其中 St 是時間 t 的股票價格，r 是無風險利率，delta 是股息率，sigma 是波動率，z 是標準正態分佈的抽取。
但是，當我通過插入 t=1 與插入 t=1/12（並模擬 12 次連續執行）來模擬一年後的股票價格時，我得到的最終價格截然不同。
單步 (t=1) 模擬的股票價格比 12 個時間步版本模擬的股票價格具有更高的變化。
我想知道我是否從這個等式中遺漏了一些東西。
A somewhat related question-------maybe too simple to start a new topic------- is the following:我記得在學校模擬股票價格時，應該使用 alpha——實際收益率，而不是方程中的無風險利率（在模擬方程中使用 r 暗示我們處於風險中性世界？）。（http://www.actuarialoutpost.com/actuarial_discussion_forum/showthread.php?t=216817）
然而，當我使用這個方程來模擬股票價格時，我能夠得到非常接近 BSM 理論價格的期權價格。
所以我的問題是，為什麼我們不能模擬具有 alpha 和折扣的股票價格以其他價格為同一期權定價？（是因為 alpha 未知，還是其他折現率未知？）。
感謝您通讀！
變異數應該完全相同，原因如下：想像你劃分你的時間間隔 $ t $ 進入 $ n $ 分期付款 $ t/n $ 每個。
所以基本上： $ S_{t/n}=S_0e^{(r-\delta-0.5\sigma^2)t/n+z\sigma\sqrt{t/n}} $
為了得到你關心的結果（ $ S_t $ )，你從 $ S_0 $ 至 $ S_{t/n} $ 至 $ S_{2t/n} $ 等，直到你到達 $ S_t $ . 模擬過程中的連續乘法結果如下：
$ S_t=S_0\Pi_{i=1}^{n} e^{(r-\delta-0.5\sigma^2)t/n} e^{z\sigma\sqrt{t/n}}=S_0e^{(r-\delta-0.5\sigma^2)t}\Pi_{i=1}^n e^{z\sigma\sqrt{t/n}}=S_0e^{(r-\delta-0.5\sigma^2)t+z\sigma\sqrt{t}} $
請注意，最後一步需要 $ \Pi_{i=1}^n e^{z\sigma\sqrt{t/n}}=e^{\sqrt{n}z\sigma\sqrt{t/n}}=e^{z\sigma\sqrt{t}} $ ，作為總和 $ n $ $ (0,1) $ - 分佈式隨機數分佈為 $ (0,\sqrt{n}) $