何時使用蒙特卡羅模擬而不是期權定價的分析方法？
我一直在使用蒙特卡羅模擬 (MC) 來為具有非對數正態基礎收益的普通期權定價。
我很想開始使用 MC 作為我的主要期權估值技術，因為我可以在不依賴分析方法（例如 Black-Scholes）假設的情況下獲得可靠的結果。
拋開計算成本不談，何時使用 MC 模擬而非分析方法進行期權定價？
當您缺乏分析易處理性或當您遇到高度多維的問題時，蒙地卡羅最有用。
例如，即使使用簡單的對數正態和Poisson模型，也存在路徑相關的收益或多資產計算，因此不存在解析解，並且任何 PDE 有限差分解都需要 3 維或更多維。其他時候，您正在使用 SDE 不可解的模型，因此一個明顯的一維問題最終仍然迫使您使用 Euler 或 Milstein 積分生成許多增量路徑。
蒙地卡羅不是個好主意的案例
- 弱路徑依賴選項（例如回溯）：使用 PDE 或系列解決方案
- 一維案例：如果您的問題只是一維的，例如沿終端分佈定價收益，您永遠不應該使用蒙地卡羅，因為在這種情況下，數值求積要好得多，即使您只使用黎曼和。
蒙地卡羅是個好主意的案例
- 強烈依賴路徑的選項，例如棘輪範圍選項
- 高維度發揮作用的*投資組合風險和奇異籃子。*CDO 檔次保護就是一個典型的例子。尾部風險計算也是如此，尤其是對於多資產投資組合。
- 無法計算終端分佈的棘手模型，例如一些隨機 vol 模型
關於單維案例 - 聽起來這描述了您的用法，可能是因為您使用某種隱含分佈擬合來同意波動率偏斜。在這種情況下，蒙地卡羅似乎很容易，但使用梯形規則積分器（或類似的）將同樣容易，而且質量要高得多。
現在蒙地卡羅確實讓準確計算希臘語變得很棘手。與任何模型一樣，我們可以通過使用有限差分“參數凸點”來計算希臘語，計算我們的希臘語
$$ g_\mu =\frac{ V(\dots,\mu+\Delta \mu,\dots) - V(\dots, \mu,\dots)}{\Delta \mu} $$ 但是如果在這兩個單獨的計算中有很多隨機雜訊 $ V() $ 那麼我們的 $ g_\mu $ 將是不准確的。*相反，*將差異帶入蒙地卡羅公式是很重要的。也就是說，我們不想做
$$ \hat{g}\mu =\frac{ \frac1M \sum{i=1}^M V(x_i,\dots,\mu+\Delta \mu,\dots) - \frac1M \sum_{i=1}^MV(y_i, \dots, \mu,\dots)}{\Delta \mu} $$ 對於兩個單獨的樣本集 $ x_i $ 和 $ y_i $ . 相反，我們想使用相同的 $ x_i $ 對於這兩個總和，這意味著我們有效地計算
$$ g_\mu =\frac1{M {\Delta \mu}} \sum_{i=1}^M V(x_i,\dots,\mu+\Delta \mu,\dots) -V(x_i, \dots, \mu,\dots) $$ 並最終得到更準確的估計，通常比我們對期權價值的估計要好。
我將做最後一點說明，那就是你覺得你“在不依賴分析方法的假設的情況下獲得了良好的結果”。如果您的終端分佈是憑經驗生成的，那麼您可能會對任何期權進行錯誤定價，因為您沒有使用任何接近風險中性的措施。例如，您幾乎肯定會發現自己為遠期合約定價 $ F $ 遠高於真實的、可套利的價值範圍 $ F \in [S_0 e^{r_L T}, S_0 e^{r_b T}] $ 在哪裡 $ r_b, r_L $ 是標準的借貸利率。
（維陶塔斯在其中一些方面擊敗了我）