具有高斯的簡單隱馬爾可夫模型玩具世界的最優交易策略
我想解決以下優化問題：什麼是時間序列上的最佳一般交易策略（在最高夏普比率的意義上），它是具有兩個狀態的隱馬爾可夫模型和具有已知轉移矩陣的兩個高斯模型的結果和已知的均值和變異數參數？
理想情況下，交易策略應僅基於易於觀察的技術指標，例如內在動量或 SMA 和波動性。我的直覺是計算這些的最佳回溯期必須取決於轉換矩陣。
我（像往常一樣）感謝想法、文獻、程式碼（最好是 R :-) 等
我不明白技術指標與這個問題有什麼關係。如果模型已知，狀態機率可以直接從收益中生成。無需根據技術指標猜測啟發式交易規則。
讓 $ r_t $ 成為時間的回報 $ t $ . 你的模型是
- $ E{r_t | s_t=i} \sim N(\mu_i,\sigma^2_i), i=0,1 $
- $ P{s_t=i | s_{t-1}, s_{t-2}, …} = P{s_t=i|s_{t-1}} $
換句話說，狀態是馬爾可夫，返回是正常的，具有已知的均值，任一狀態的變異數。假設我們站在時間 $ t $ . 我們需要首先確定 $ P{s_t = 0 | r_{t-1}, …, r_0} = p_t $ . 使用前向後向算法，也就是動態程式，並在大多數 HMM 包中實現。
現在
$$ E{r_t} = p_t\mu_0 + (1-p_t)\mu_1 $$ 和 $$ Var{r_t} = p_t\sigma_0^2 + (1-p_t)\sigma_1^2. $$ 現在我們需要選擇我們的位置 $ x $ 最大化夏普
$$ \frac{E{x’r}}{\sqrt{Var{x’r}}} $$ 這相當於（最多一個比例因子）均值變異數問題
$$ \min_x {\lambda x’ \Sigma x - x’\bar{r} }, $$ 在哪裡 $ \Sigma $ 是一個對角矩陣 $ Var{r_t}, t= 0,1,…,T $ 在對角線上和 $ \bar{r} = E{r} $ . 這個事實的證明是矛盾的。假設有一個 $ x $ 較高的夏普不是均值變異數問題的解決方案， $ x^* $ . 我們可以擴展 $ x $ 由一個正常數 $ \alpha $ 所以我們有 $ \alpha \bar{r}‘x = \bar{r}‘x^* $ . 同時，我們知道 $$ \alpha\sqrt{x’\Sigma x} < \sqrt{(x^) ’ \Sigma x^} $$ 因為 $ x^* $ 不是夏普最優的。兩邊平方給出 $$ \alpha^2 x’\Sigma x < (x^) ’ \Sigma x^. $$ 事實是 $ \alpha x $ 具有相同的均值且嚴格較低的變異數與以下假設相矛盾 $ x^* $ 是解決方案。因此，我們得出結論，均值變異數解始終是夏普最優的。請注意，在更一般的問題（例如有約束）中，這種等價性不一定成立。現在平均變異數問題的解決方案（取導數並設置為零）就是 $ \frac{1}{2 \lambda}\Sigma^{-1} \bar{r} $ . 然而，當時 $ t $ 我們不必擔心除了 $ x_t $ . 可以計算 $ x $ 對於相對於目前期望而言是最優的未來時間，但實際上最好在我們觀察到下一個回報之後重新執行前向後向算法，然後重新計算 $ x_{t+1} $ . 因此，最佳解決方案是按比例下注 $ \frac{E{r_t}}{Var{r_t}} $ . 這有一個直覺的解釋為
$$ \frac{E{r_t}}{Var{r_t}} = \frac{E{r_t}}{\sqrt{Var{r_t}}} \frac{1}{\sqrt{Var{r_t}}} $$ 以便 $$ x_t\sqrt{Var{r_t}} = \frac{E{r_t}}{\sqrt{Var{r_t}}}, $$ 即每次都承擔與預期夏普成正比的風險。 如果您有交易成本，那麼您需要考慮未來的均值和變異數，這會使問題變得更加困難，但也是可行的。