非正常環境下凱利準則的最優性
凱利準則僅在良好且表現良好的默頓世界中是最優的，這一事實並不為人所知。當事情變得非（對數）正常（即更現實！）時，它遠非最佳。
我的問題
我的問題很簡單：為什麼會這樣？原因是什麼，這個事實是否有一些直覺。
凱利標準是針對兩個結果事件（二項式）得出的。假設它對其他任何事情（包括“正常”事件）“有效”就是自找麻煩。
我希望這對你有幫助。我們必須從第一步開始，即如何計算凱利公式。我們有機會為某項賽事下注 $ A $ 作為奇數（小數賠率） $ O_A $ . 我們只想賭一小部分 $ f $ 我們的資本 $ V_0 $ . 我們必須下注多少資金？好吧，如果我們贏了，我們將面對一個資本 $ V_1 $
$$ V_1=(1+(O_A-1)f)V_0 $$ 如果我們鬆了，我們將面臨一個資本 $$ V_1=(1-f)V_0 $$ 我們現在想像我們可以在同一事件中一次又一次地下注。後 $ n=w+l $ 事件，在哪裡 $ w $ 贏得賽事和 $ l $ 都是失敗的事件，我們面對的是資本 $$ V_n=(1+(O_A-1)f)^w (1-f)^l V_0 $$ 我們可以在本項中重新排列前面的方程 $$ G_n=\frac{V_n}{V_0}=(1+(O_A-1)f)^w (1-f)^l $$ 我們要計算單位增長 $ G_n $ 我們執行幾何平均數 $ 1/n $ 根植於兩個成員 $$ G_n^{\frac{1}{n}}=(1+(O_A-1)f)^{\frac{w}{n}} (1-f)^{\frac{l}{n}} $$ 這是第一個假設。如果這兩個事件 $ w $ 和 $ l $ 不相關，那麼我們可以應用大數定理並聲明對於大量試驗，我們必須有
$$ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{w}{n}=p \ \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{l}{n}=q=(1-p) $$ 所以我們有 $$ \hat G=(1+(O_A-1)f)^p (1-f)^q $$ 如果我們應用 $ log() $ 兩邊 $$ \log \hat G=\log ((1+(O_A-1)f)^p (1-f)^q)=p\log(1+(O_A-1)f)+q\log(1-f) $$ 和口譯 $ (O_A-1)=r_p $ 和 $ -1=r_q $ $$ \log \hat G=p\log(1+r_pf)+q\log(1+r_qf)=\sum_i p_i\log(1+r_i f)=E[\log(1+r f)] $$ 在哪裡 $ E[\circ] $ 是期望值運算符。凱利準則說 $ f $ 我們必須選擇的是最大化 $ \log \hat G $ . 在這一點上，我們只做了一個假設，即大數定理有效。當我們想在連續極限中應用前面的公式時，問題就出現了。在無限可能結果的極限 $ i\rightarrow +\infty $ 我們有
$$ \lim_{i\rightarrow +\infty}\sum_i p_i\log(1+r_i f)=\int f(r)\log(1+r_i f)d r= E[\log(1+r f)] $$ 為了計算凱利值的唯一請求 $ f $ 那是 $ E[\log(1+r f)] $ 存在。這對收斂性施加了一些限制 $ f(r) $ 在無窮遠處。如果一個 $ X $ 是對數正態分佈變數，這意味著必須存在第一個 $ \log $ 動量和第二 $ \log^2 $ 動量，即 $$ E[\log X]<+\infty\ E[\log^2 X] <+\infty $$ 所以如果返回 $ r $ 不滿足第一個條件，則值為 $ f $ 我們從凱利準則計算是沒有意義的，這就是為什麼我們不能將凱利準則應用於整個分佈域。