證明你無法擊敗隨機遊走
有很多猜測金融系列在多大程度上是隨機的（以及什麼樣的隨機性占主導地位）。
我想把問題轉過來問：
是否有數學證據表明您使用的任何交易策略都無法擊敗隨機遊走（即假設沒有漂移，預期值將始終為 0）？
（我發現這篇博文，作者使用所謂的“75% 規則”來擊敗隨機遊走，但我認為他理解了價格和退貨之間的區別。這種方法只有在你有一個允許的價格範圍時才有效（例如，均值回歸系列）。參見例如此處進行討論。）
我可以幫助您“以您想要的方式”擊敗隨機遊走，即期望值 $ E[$] $ 即使假設沒有漂移，也將始終為正。但是，我必須警告人們 $ E[$] > 0 $ 在現實中（至少對我自己而言）並不是真正“毆打”的充分條件。
讓我們為推導定義一些數學符號，並在不失一般性的情況下改寫（簡化）vonjd 的問題。假設交易者進行公平遊戲，而他的盈餘 $ X(0), X(1), X(2), … X(t) $ 是鞅。
問：交易者能否找到停止時間 $ s $ 這樣 $ E[X( $ s $ )] > X(0) $ ?
- 一個支持 Bootvis 答案的證據，作為比較，考慮一個平均下注的正常交易策略。然後，
$$ \begin{align*}E[X(s)] &= E[ E[X(s)|X(s-1), X(s-2),…, X(0)] ] \ &= E[X(s-1)] = E[X(s-2)] = … = E[X(0)] = X(0).\end{align*} $$
- 現在，考慮一個“雙重下注”策略。我們不斷將您的虧損交易翻倍，直到第一次獲勝。讓我們設置初始盈餘， $ X(0) = 0 $ 為簡單起見。
因此， $ X(k) = X(k-1) + G(k) $ ， 在哪裡 $ G(k)=\pm 2^{k} $ 有機率 $ 1/2 $ . 請注意，我們得到了權力 $ (k) $ 的 $ 2 $ 在 $ G(k) $ 因為“雙重投注”。我們的市場還在亂走。
此策略旨在一次停止 $ s = min{k} $ 英石 $ G(k) > 0 $ （注意 $ Prob{s=infinity} = 0 $ )
計算 $ E[X(s)] $ 通過調節 s：
$$ \begin{align*} E[X(s)] &= E[E[X(s)|s]] = \sum_{k=1}^{\infty} E[X(s)|s=k] * Prob{s=k} \ &= \sum_{k=1}^{…} (-1-2-4-8…-2^{(k-1)} + 2^{k}) * (1/2)^{k} \ &= \sum_{k=1}^{…} 1 * (1/2)^k = 1 > 0 = X(0)\end{align*} $$ 結論
交易者可以使 $ E[X(s)]>0 $ 使用雙重投注策略進行隨機遊走。我們證明了您可以在您對“跳動”的定義中擊敗隨機遊走，即期望值 > 0。
這實際上是支持 Akshay 答案的簡化證明。不管它叫什麼：波動性抽水、凱利策略、最佳增長投資組合等等。這些想法只是又問了一個問題：為什麼要加倍？由於…（各種原因和假設），是否存在最佳投注比率？
- 警告：是的，期望值確實是正的，對於相信獲勝策略就是尋找目標的人來說，這可能是一個充分的證據。 $ E[X(s)]>0 $ . 不幸的是，這在現實中是不夠的，至少對我自己來說是這樣。你被警告了。
- 一種 $ E[X(s)]>0 $ 當且僅當我們擁有“無限量的資本”時，策略才能保證為您帶來真正的財富。有關詳細資訊（長篇大論），請參閱 wiki：Martingale 投注系統。
- 你可能會問，如果我們只有有限的資本，我們該怎麼辦？凱利標準實際上提供了有限資本雙重投注策略的效果。例如，如果您的交易信號非常微弱（接近完全沒有信號的隨機遊走），凱利標準將建議您以1美元（最初）為100 萬美元的資本下注，然後增加/減少當您輸/贏時，您的位置會增加一定的百分比。是的，100 萬美元確實看起來像是1美元的無限資本。
- （來自評論）與“純獨立=零E”的常識沒有矛盾
$$ PnL $$’. $ E[] > 0 $ 在我的例子中，vonjd’d Parrondo 的悖論確實被某種依賴所利用。雖然 Parrondo 悖論利用了兩場失敗遊戲之間的依賴關係，但我的悖論正在利用我的失敗交易的依賴關係（這不太明顯）。但再次警告：這是以破產風險為代價的！儘管 Kelly 和 vol-pump 策略消除了破產風險，但它們仍然受到趨勢風險的影響。