我閱讀了 Oliver Grandville 的一篇關於長期預期回報的論文。我試圖調和我在該論文中閱讀的內容與我在維基百科凱利標準頁面的“股票市場應用”下看到的內容。

http://www.cfapubs.org/doi/abs/10.2469/faj.v54.n6.2227

https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion

在他的論文中，他定義了以下內容：

1. $ R_{t-1,t} = \frac{S_t-S_{t-1}}{S_{t-1}} $ 因為年收益率每年復合一次
2. $ X_{t-1,t} = 1 + R_{t-1,t} = \frac{S_t}{S_{t-1}} $ 作為每年的美元回報
3. $ log \left( X_{t-1,t} \right) = log \left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right) $ 作為每年連續複利的回報率
4. $ E(X_{t-1,t}) = E(1+R_{t-1,t}) $ 作為年度美元回報的期望值和 $ V(X_{t-1,t}) $ 作為它的變異數

他得出給定的 $ log \left( X_{t-1,t} \right) = log \left(\frac{S_t}{S_{t-1}}\right) = \mu + \sigma N(0,1) $ （即對數回報遵循均值的正態分佈 $ \mu $ 和變異數 $ \sigma^2) $ ，我們必須有 $ E(X_{t-1,t}) = exp \left( \mu + \frac{\sigma^2}{2}\right) $ .

我的問題是：

1. 對於 wiki article vs this article，wiki 說預期的日誌返回是 $ R_s = \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t $ . 這似乎與格蘭維爾的文章相似，如果你採取 $ log(E(X_{t-1,t})) = \mu + \frac{\sigma^2}{2} $ ，但並不完全相同。是因為維基文章做出的假設不同（即股票價格像布朗運動一樣移動嗎？）
2. 在 wiki 頁面中推導期望值的最大值。不應該是 $ G(f) = fE(stock) + (1-f)E(bond)=f*(\mu - \frac{\sigma^2}{2}) + (1-f)*r $ , 但 vol 項不同 ( $ f^2 $ 對比 $ f $ ）。這是為什麼？
3. 最後，wiki 文章的最後一行提到“記住 $ \mu $ 不同於資產日誌回報 $ R_s $ . 混淆這是談論凱利標準的網站和文章所犯的常見錯誤。”我的理解是 $ \mu $ 是日誌返回的預期值 $ E(log(X_{t-1,t})) $ 然而 $ R_s $ 是預期收益的對數 $ log(E(X_{t-1,t})) $ 這種區別很重要，因為 $ E(log(X)) $ 和 $ log(E(X)) $ 並不總是平等的。這種理解正確嗎？

有兩個社區對回報和水平的隨機變數進行不同的參數化。不幸的是，它們都使用相同的符號。一個社區使用 $ \mu $ 表示水平對數的平均值。其他用途 $ \tilde{\mu} $ 表示水平平均值的對數。

是的，將變換應用於隨機變數並獲取它們的期望的順序非常重要。只有在仿射/線性變換的情況下，順序才無關緊要。在您的情況下，對數是非線性函式，因此交換順序非常重要。

在統計學界，處理單個隨機變數而不是連續時間隨機過程更為常見，我們可能會說 $ X $ 遵循帶參數的對數正態分佈 $ \mu $ 和 $ \sigma^2 $ . 這是寫的 $ X \sim \text{Lognormal}(\mu, \sigma^2) $ . 但是，這些參數並不表示隨機變數的均值和變異數 $ X $ . 相反， 表示的均值和變異數 $ R = \log X $ ，這是一個正態分佈的單期收益率。對我們來說，預期水平是 $ E[X] = \exp[ \mu + \sigma^2/2]. $

當人們談論我不太熟悉的 SDE 時，他們提到一段時間後的預期水平是 $ e^{\tilde{\mu}} $ . 在這裡，他們使用參數來表示水平平均值的對數。兩個參數化之間的關係如下：

$$ \left[ \begin{array}{c} \tilde{\mu} \ \tilde{\sigma}^2 \end{array}\right]

\left[ \begin{array}{c} \mu + \frac{\sigma^2}{2} \ \sigma^2 \end{array}\right], $$ 其中左側是 SDE 社區使用的參數集。 進行替換，您可以看到兩個社區對退貨的看法相同：

$$ E[R] = E[\log X] = \mu = \tilde{\mu} - \frac{\tilde{\sigma}^2}{2}. $$ 如果您再次進行替換，您會看到他們對關卡也有同樣的看法：

$$ E[X] = \exp(\mu + \sigma^2/2) = \exp(\tilde{\mu}). $$

這只是關於第二個問題。

在 SDE 理論中，參數 $ \tilde{\mu} $ 有時稱為瞬時回報率，即在一個小到可以忽略隨機性的時間間隔內的回報率（即在極限 $ \Delta t\to 0 $ ) . 然而，在有限的時間間隔內，這個回報率並不適用，過程中的隨機性導致預期回報率低於這個，並且在一個時間單位（以一年為例）的回報率是 $ \tilde{\mu}- \frac{1}{2}\sigma^2 $

現在轉向維基百科的文章。將股票按比例組合的投資的年預期回報是多少 $ f $ 和 Tbills 的比例 $ (1-f) $ ?

股票具有瞬時收益率 $ \tilde{\mu} $ 和變異數 $ \sigma^2 $

Tbill 有回報率 $ r $ 和變異數 0。

兩者結合具有瞬時收益率 $ f \tilde{\mu} + (1-f) r $ 並且有變異數 $ f^2 \sigma^2 $ .

應用上述公式，我們發現混合投資的年（或一個時間單位）收益率為 $ f\tilde{\mu} + (1-f) r-\frac{1}{2}f^2 \sigma^2 $ . 這是維基百科文章中給出的表達方式。

出現的神秘的“減半變異數”校正項被稱為“伊藤校正”，確實需要隨機微積分的知識來解釋。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/34984