截距在 OLS Beta 估計中的作用
我正在建構一個經典的配對交易策略，在該策略中，我使用線性估計器來模擬兩種資產在背離期間開立多空市場中性頭寸的價差。我正在努力理解如何通過回歸估計適當的對沖比率。也就是說，我對截距項在回歸方程中的作用感到困惑。
假設我們想使用滾動回歸視窗對動態 beta 進行建模。包含截距項後，我們的 beta 估計變得非常不穩定（到了不可用的程度）。或者，如果截距被強制為零，則 beta 變得更加穩定，並且直覺地成為更合理的估計。也就是說，我已經準備了許多關於配對交易和 beta 估計主題的論文，並且似乎截距包含在大多數用於 beta 估計的回歸方程中。此外，我一直被告知應該始終在模型中包含截距項或風險偏差。那麼是什麼導致了 beta 的不穩定呢？我應該在對沖比率估計中加入截距嗎？
最後，由於我的策略集中在對資產的分佈（即回歸的殘差）進行建模，因此我對截距強制為零導致的殘差的非零均值有額外的擔憂。我想我可以執行平行回歸，即一個沒有截距的回歸用於最佳對沖比率估計，第二個帶有截距的回歸用於獲得無偏殘差，但我沒有在任何文獻中看到這一點。我想我可能從根本上錯過了一塊拼圖。值得一提的是，我的真實模型是使用卡爾曼濾波器來計算價差和 beta，但我相信這個模型與我給出的更簡單的 OLS 範例存在相同的弱點和問題。
以下是使用截距的回溯視窗為 20 的滾動回歸的每日 beta 估計值圖：
這是同一回歸的每日 beta 估計圖，截距強制為零：
以下是來自 Python 的最小可重現程式碼片段：
import yfinance as yf import numpy as np from statsmodels.regression.rolling import RollingOLS data = yf.download(['AAPL', 'MSFT'], start='2015-01-01').get('Adj Close') data = np.log(data) # Model with intercept rmod = RollingOLS( endog=data['AAPL'], exog=sm.add_constant(data['MSFT']), # Adding intercept window=20, ) rres = rmod.fit() beta = rres.params['MSFT'] plt.plot(beta) plt.title('AAPL/MSFT Rolling Regression (With Intercept)') plt.show() # Model with intercept frozen =0 rmod_nointercept = RollingOLS( endog=data['AAPL'], exog=data['MSFT'], window=20, ) rres_nointercept = rmod_nointercept.fit() beta = rres_nointercept.params['MSFT'] plt.plot(beta) plt.title('AAPL/MSFT Rolling Regression (No Intercept)') plt.show()
嗨詹姆斯：我發現你的問題和結果很有趣，我無法回答或說出任何確定的內容，但我在嘗試使用協整進行配對時遇到了類似的問題。就一些直覺和評論而言，只有幾件事。我希望其他人會說些什麼，因為我懷疑這會對您的問題有所幫助。
- 我認為你的結果的原因是，當你允許攔截時，你有點允許傳播有更多的自由，因為它可以在一個非零值附近變化，而在無攔截模型中，變化總是在零附近測量。所以，對於誤差校正模型來說，這意味著長期平衡值（我不知道我是否記得準確的術語，但是當我說“長期誤差校正術語”時，我指的是 $ Y - X \beta - \mu $ 在糾錯模型中）始終具有不同的均值。在無截距的情況下，誤差校正模型中的長期平衡始終為零。因此，由於均衡值必須為零，所以 $ \beta $ 由於糾錯項，在無截距模型中沒有太多的空間可以從一個時期移動到另一個時期， $ Y - X \beta $ , 需要接近於零，因為 $ \mu = 0 $ .
- 我試過的一件事（不知道它是否對你有幫助）不僅把截距去掉（以減少對沖比率的變化），而且還設置了 $ \beta $ 到 1.0 並測試這些殘差的平穩性。請注意，這樣做時，您必須使用不同的表，因為 $ \beta $ 假設是已知的。這種方法提供了一種自動減少估計變化的方法，因為如果您不能拒絕 $ \beta = 1 $ ，那麼這顯然會將估計變化減少到零，因為沒有估計!!!!!!! 我不記得將對沖比率設置為某個已知值（例如 1.0）有多大幫助，但我確實記得 $ \beta $ 估計太不穩定了，所以我嘗試了一下。
- 您可能想看看總最小二乘回歸，其中 $ x $ 和 $ y $ 被對稱對待。Paul Teetor 寫了一篇關於這種方法的文章（Google他的名字。我認為他有一個網站或者論文會出現。如果你找不到它，請告訴我），我認為他的結果很有希望，但我沒有不記得細節。
請注意，我自己從未嘗試過總最小二乘法，但事實上 EG 方法不是對稱的 $ x $ 和 $ y $ 一直困擾著我。我永遠無法在我的腦海中證明協整結果如何取決於哪個變數， $ x $ 或者 $ y $ , 被選為響應。
祝你好運，我希望這會有所幫助。
MarkPS：要考慮的一件事是，當您強制使用這樣的值時，它意味著什麼 $ \beta = 1.0 $ 或其他一些固定值。固定時 $ \beta $ 到一個已知值，關於校正過程與讓有一個估計值是什麼意思？ $ \beta $ 可以說 2 或 4 或 0.5 ？我不知道我現在是否可以回答這個問題，但我可以在我處理它的時候回來。