Vasicek 模型的仿射結構解析度
我現在想知道如何在 Vasicek 下求解仿射結構的 PDE。我正在描述步驟：
首先，讓我們將 OU 流程置於風險中性措施下，例如： $$ \begin{align*} \mathrm{d}r_t=\mu(t,r_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,r_t)\mathrm{d}W_t \end{align*} $$
然後是債券 PDE：
$$ \begin{align*} P_t + \mu(t,r) P_r + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2P_{rr} -rP=0, \end{align*} $$ 我們寫出零息債券的公式，並將其與原始 PDE 混合，使用潛在 $ r_t $ 多變的 ：
$$ \begin{align*} P(t,T)=e^{A(t,T)-r_tB(t,T)} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} P_t(t,T) &=\big(A_t(t,T)-r_tB_t(t,T)\big)\cdot P(t,T), \ P_r(t,T) &= -B(t,T)\cdot P(t,T), \ P_{rr}(t,T) &= B(t,T)^2\cdot P(t,T). \end{align*} $$
$$ \begin{align*} A_t(t,T) - \mu(t,r) B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2B(t,T)^2 +(-B_t(t,T)-1)r &=0. \end{align*} $$
在 Vasicek 案中， $ \mu(t,r_t)=\kappa(\theta-r_t) $ 和 $ \sigma(t,r_t)=\sigma $ 之後的計算很簡單：
$$ \begin{align*} A_t(t,T) - \kappa \theta B(t,T) + \kappa r B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 +(-B_t(t,T)-1)r &=0 \ \implies A_t(t,T) - \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2-(1+B_t(t,T)-\kappa B(t,T))r &=0. \end{align*} $$
我們最終得到兩個等式：
$$ \begin{align*} \begin{cases} A_t(t,T) - \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 &= 0, \ 1+B_t(t,T)-\kappa B(t,T) &= 0,\ u.c : A(T,T)=B(T,T)=0 \end{cases} \end{align*} $$ 但是我不明白我們必須這樣做才能找到 $ B_t(t,T) = e^{-k(T-t)} $ 因此 $ B(t,T) = \frac{-1+e^{-k(T-t)}}{k} $ .
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我們從等式開始 $ 1+B_t(t,T)-kB(t,T) = 0 \quad(1) $
$$ \begin{align} (1) & \iff e^{-kt}+e^{-kt}B_t(t,T)+(-k)e^{-kt}B(t,T) = 0 \ & \iff e^{-kt}+ \frac{\partial}{\partial t}\left(e^{-kt}B(t,T)\right) = 0 \ & \iff \int_t^Te^{-ku}du+ \int_t^T\frac{\partial}{\partial u}\left(e^{-ku}B(t,T)\right)du = 0 \ & \iff \int_t^Te^{-ku}du+ \int_t^T\frac{\partial}{\partial u}\left(e^{-ku}B(t,T)\right)du = 0 \ & \iff\frac{e^{-kt}-e^{-kT}}{k} +\left(e^{-kT}B(T,T) - e^{-kt}B(t,T)\right) = 0 \tag{2}\ \end{align} $$ 從 $ (2) $ , 可以推導出 $ B(t,T) $ .