布萊克斯科爾斯常數隱含波動率
我希望有人能澄清我對經典 Black Scholes 框架中恆定隱含波動率的看法。
眾所周知，市場從業者根據隱含波動率報價普通看漲期權和看跌期權的價格。對於輸入 $ K $ , $ S $ , $ r $ , $ T $ 和期權的價格 $ V $ , 可以確定隱含波動率 $ σ $ 這樣
$ V=BS(K,S,r,T,σ) $ (1)
當市場報價的隱含波動率與固定期限的不同行使價作圖時 $ T $ ，該圖通常會呈現“微笑”形狀，因此得名波動微笑。
理論認為這意味著 Black Scholes 模型存在缺陷，因為它假設波動率參數恆定，而不取決於 $ K $ 也不 $ T $ . 因此，波動率微笑將是平坦的。
在這裡，我的想法變得混亂。假如說 $ S $ , $ r $ 和 $ T $ 保持不變，市場價格固定 $ V $ 普通期權的隱含波動率將根據行使價的價值而變化 $ K $ 在 Black Scholes 模型下 (1)。因此，如果隱含波動率是針對固定的不同行使價繪製的 $ V $ 它確實會表現出微笑的行為，這與理論所說的相反。
此外，根據理論形成波動率微笑的市場報價隱含波動率是否對應於固定的普通期權價格 $ V $ 並且隨著變化 $ K $ ?
我想我在推理中犯了一個錯誤，但我不明白在哪裡。如果有人能指出我正確的思考方向，我會很高興。
提前致謝。
你似乎有點迷失在理論（模型）和實踐（市場）之間
$$ Theory $$
Black-Scholes 模型假設“股票”的動態遵循具有恆定波動率的幾何布朗運動，即 GBM $ (r,\sigma) $ .
在數學上，這寫
$$ \frac {dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}} $$ 在這個建模假設下，歐式期權價格有一個封閉形式的表達式，由著名的Black-Scholes 公式給出。
如果您相信該模型，則無論您將定價的選項如何（換句話說，無論罷工 $ K $ 或到期時間 $ T $ )，因此您將始終插入相同的波動率數字 $ \sigma $ 在 BS 公式中。這是因為所有這些選項都寫在同一個底層證券上 $ S $ , 它具有獨特的動態, 被假定為具有波動性的 GBM $ \sigma $ 僅此而已。
$$ Practice $$
現在，查看實物期權報價並假設您已經確定了相關的貼現因子和遠期曲線，當您嘗試找到需要插入 BS 公式以檢索觀察到的市場價格的波動率值時，您會發現這些數字是不是恆定的。
對於固定期限，這就是所謂的隱含波動率微笑。對於固定罷工，這就是所謂的隱含波動率期限結構。
由於波動率不是恆定的，因此違反了 Black-Scholes 建模框架的假設。
實際上，使用不同的波動率實際上意味著對您嘗試定價的每個期權使用不同的基礎動態（請記住，波動率的一個特定值 = BS 世界中的一個特定動態），這沒有任何意義，因為基礎是獨一無二的。
換句話說，與理論預測相反，您不能使用單一波動率數據來檢索所有期權的市場價格。
根據 BS 波動率報價期權嚴格等同於根據價格報價，因為通過 BS 公式，波動率和價格之間存在一對一的關係。
它更實用，因為：（1）IV 在行使價/到期日之間的變化比價格變化小，這使得在平等的基礎上比較事物變得更容易（2）如果您對隱含波動率進行 delta 對沖，您的損益將成正比已實現波動率和隱含波動率之間的差異。這就是為什麼人們聲稱購買期權就像購買波動率一樣（儘管這不是純粹的波動率賭注，因為您的損益通過 Gamma 美元的路徑依賴性）。
最後，我想說的是，市場從業者使用的不是布萊克-斯科爾斯模型，而是布萊克-斯科爾斯定價方程。