CDS 保護/或有腿定價，考慮利率和風險率
信用違約掉期的定價和風險管理，重點關注 ISDA 模型 截圖：CDS 的定價保護腿，由 OpenGamma
在上面的螢幕截圖中，我無法理解等式 13 和等式 14 之間的數學運算。
符號：
- $ N $ = 名義付款，例如 100 英鎊
- $ RR $ =回收率，百分比 $ N $ 預設恢復，例如，你拿回 40%
- $ \tau $ = 預設時間
- $ t_v $ = 估值日期
- $ T $ = 到期日
- $ \mathbb{I}_A $ = 事件的指示函式 $ A $
- $ r(s) $ = 瞬時短期利率 $ s $
- $ P(t) $ = 折扣係數 $ t > 0 = $ 開始日期
- $ Q(t) $ =當時的生存機率 $ t $
我試過的：
$$ \mathbb{E}\left[e^{-\int_{t_v}^{T}r(s)ds}\mathbb{I}{\tau<T}\right] = \int{-\infty}^{\infty} \tau e^{-\int_{t_v}^{T}r(s)ds}\mathbb{I}{\tau<T} d\tau = \int{0}^{T} \tau \frac{P(\tau)}{P(t_v)}d\tau $$
從這裡，我看不到方程 14 是如何推導出來的。
經過一番嘗試，我想我已經做到了。
$$ \begin{equation} \label{eq1} \begin{split} N(1-RR)\ \mathbb{E}\left[ e^{-\int_{t_v}^{\tau}r(s)ds} \mathbb{I}{\tau<T} \right] & = N(1-RR)\ \mathbb{E}\left[ \frac{P(\tau)}{P(t_v)} \mathbb{I}{\tau<T} \right] \ & = \frac{N(1-RR)}{P(t_v)}\ \mathbb{E}\left[ P(\tau) \mathbb{I}{\tau<T} \right] \ & = \frac{N(1-RR)}{P(t_v)}\ \int{-\infty}^{\infty} -\frac{dQ(s)}{ds}P(s) \mathbb{I}{s<T} ds \ & = -\frac{N(1-RR)}{P(t_v)}\ \int{0}^{T} P(s) \frac{dQ(s)}{ds} ds \ & = -\frac{N(1-RR)}{P(t_v)}\ \int_{0}^{T} P(s)\ dQ(s) \end{split} \end{equation} $$