興趣力三次多項式

只是在這裡遇到一個問題，任何幫助將不勝感激。

對於存款，銀行提供給定年份的年利率，即年初為 4.99%，三個月後為 5.33%，六個月後為 5.75%，九個月後為 6.53%。假設年利率是一年中時間的三次多項式函式，計算年初存款 78,000 美元在年末的累積金額。

任何有用的提示或建議都會很棒，我不是在尋找答案，只是一種我能記住的方法。

如果利息力（或瞬時利率）是 $ r(t) $ 那麼累積函式為 $ a(t)=e^{\int_0^t r(t)dt} $ .

在這種情況下 $ r(t) $ 是三次多項式 $ t $ 它沒有明確給出，但它通過 4 個點這一事實唯一定義：(0.0499,0),(0.0533,0.25),(0.0575,0.50),(0.0653,0.75)。使用牛頓插值公式或拉格朗日插值公式，您將明確計算 $ r(t) $ 是。

積分此多項式後，您將得到一個 4 次多項式，您在 t=1 處對其進行評估並取指數來找到 $ a(1) $

最後的答案是 $ 78000*(a(1)-a(0))=78000*(a(1)-1) $

不用說，這是大量的計算，尤其是當您在考試的時間壓力下不得不用鉛筆和紙來計算時。

$$ If you have access to a computer with Mathematica or similar math program then it becomes doable. $$

要糾正@AlexC 原本很好的答案中的兩點：

1. 給定點的形式為 $ (t, r(t)) $ : $$ \begin{eqnarray*}\left(0,\frac{499}{10^4}\right),& \left(\frac14,\frac{533}{10^4}\right),\ \left(\frac12, \frac{575}{10^4}\right),& \left(\frac34,\frac{653}{10^4}\right).\end{eqnarray*} $$ 三次多項式 $ r(t)=at^3+bt^2+ct+d $ 因此並不是那麼糟糕：它有 $ d=499\cdot 10^{-4} $ ， 和 $$ \begin{eqnarray*}a \cdot 2^{-6}+b\cdot 2^{-4}+c\cdot 2^{-2}+d=533\cdot 10^{-4}\ a \cdot 2^{-3}+b\cdot 2^{-2}+c\cdot 2^{-1}+d=575\cdot 10^{-4}\ a \cdot 3^32^{-6}+b\cdot 3^22^{-4}+c\cdot 3\cdot2^{-2}+d=653\cdot 10^{-4}\end{eqnarray*} $$
2. 累計金額為 $ A(1)=A(0)\cdot e^{\int_0^1 r(t),dt} $ 在哪裡 $ A(0)=$78,000 $ .

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以下是有關查找的一些詳細資訊 $ a $ , $ b $ ， 和 $ c $ :

$$ \begin{eqnarray*}a \cdot 2^{-2}+b+c\cdot 2^{2}+d\cdot 2^4=533\cdot 5^{-4}\ a \cdot 2^{1}+b\cdot 2^{2}+c\cdot 2^{3}+d\cdot 2^4=575\cdot 5^{-4}\ a \cdot 3^32^{-2}+b\cdot 3^2+c\cdot 3\cdot2^{2}+d\cdot 2^4=653\cdot 5^{-4}\end{eqnarray*} $$ $$ \begin{eqnarray*}\frac14a+b+4c+16d=533\cdot 5^{-4}\ 2a+4b+8c+16d=575\cdot 5^{-4}\ \frac{27}4a+9b+12c+16d=653\cdot 5^{-4}\end{eqnarray*} $$ 筆記 $ 16d=499\cdot 5^{-4} $ 所以這變成

$$ \begin{eqnarray*}\frac14a+b+4c=34\cdot 5^{-4}\ 2a+4b+8c=76\cdot 5^{-4}\ \frac{27}4a+9b+12c=154\cdot 5^{-4}\end{eqnarray*} $$ $$ \begin{bmatrix}\frac14&1&4\ 2&4&8\ \frac{27}4&9&12\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}2&-2&\frac23\ -\frac52&2&-\frac12\ \frac34&-\frac38&\frac1{12}\end{bmatrix} $$ 所以 $$ \begin{bmatrix}a\ b\ c\end{bmatrix}=5^{-4}\begin{bmatrix}2&-2&\frac23\ -\frac52&2&-\frac12\ \frac34&-\frac38&\frac1{12}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}34\ 76\ 154\end{bmatrix} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/33423