線性指數損失 (Linex) 函式如何趨向於二次損失函式？
謝謝大家的幫助，如果這是一個糟糕或愚蠢的問題，我提前道歉。
我希望閱讀更多關於 Quadratic Loss 和 Linex Loss 的資訊，並預測最優性。在我的大學課文中，我們被告知二次損失函式本質上是損失函式的平方誤差，或實際值與預測值之差的平方，如下所示：
然後我們被告知，線性指數損失函式是一個不對稱損失函式，它趨向於二次損失函式，因為 a 趨向於零，如下所示：
我的問題是 Linex 損失函式如何趨向於二次損失函式，因為它趨向於零？我可能有點無能並且錯過了這裡的數學，但我似乎無法證明當 a 趨於零時，Linex 函式趨於二次函式。
任何幫助將不勝感激。謝謝！
它只需要冪級數（Maclaurin）展開： $ e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots $
取 Linex 函式：
$ L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\frac{2}{a^2}\left[e^{a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)}-a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)-1\right] $
並用冪級數代替指數項：
$ L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\frac{2}{a^2}\left[1+a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)+\frac{a^2\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2}{2!}+\frac{a^3\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^3}{3!}+\dots-a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)-1\right] $
然後簡化：
$ L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\frac{2}{a^2}\left[\frac{a^2\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2}{2!}+\frac{a^3\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^3}{3!}+\dots\right]=\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2 +\frac{2a\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^3}{3!}+\dots $
然後很容易看出極限是二次的：
$ \lim_{a \to 0} L\left(y,\overset{\wedge}{y}\right)=\left(y-\overset{\wedge}{y}\right)^2 $