如何修改二叉樹以包含更多資產？

我想知道，如果我們使用二叉樹為交換期權定價會發生什麼，一種在到期日將一種資產換成另一種資產的期權。回報是 $ \max(S_1-S_2,0) $

例如，我有兩個資產，其收益如下： $ \begin{bmatrix}1.1&0.9\1.1&1.1\0.9&1.1\end{bmatrix} $ ， 和 $ S_0^1=100 $ 和 $ S_0^2=95 $ ，無風險利率為 $ R_f=4% $ 和 $ T=6 $

如何處理多一維？我的直覺是照常使用二叉樹。但是，鑑於我已經列出了資產 1 和 2 的所有可能的收益組合，很難說出有多少可能的路徑會導致收益。

根據 Black-Scholes 對 2 項資產的假設 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 波動性 $ \sigma_{1,2} $ 和相關性 $ \rho $ 該選項的值有一個顯式表達式，即Margrabe 公式

明確引用結果

介紹 $ \sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1\sigma_2\rho} $ , Margrabe 公式表明期權在時間 0 和到期時的公平價格 $ T $ 是：

$$ e^{-q_1 T}S_1(0) N(d_1) - e^{-q_2 T}S_2(0) N(d_2) $$

在哪裡 $ q_1,q_2 $ 是價格的預期股息率 $ S_1,S_2 $ 在適當的風險中性措施下， $ N $ 表示正態分佈的累積分佈函式，

$$ d_1 = (\ln (S_1(0)/S_2(0)) + (q_2 - q_1 + \sigma^2/2)T)/ \sigma\sqrt{T} $$, $$ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/43861