可積累積收益過程
我正在嘗試閱讀 Karatzas/Shreve “數學金融方法”。英寸。1、定義5.5，累積收益過程 $ \Gamma(t)=\Gamma^{\mathrm{fv}}(t)+\Gamma^\mathrm{lm}(t) $ （原測度下的半鞅 $ P $ ) 被定義為可積的，如果 $$ E_0 \int_0^T \frac{d \hat\Gamma_0^{\mathrm{fv}}(u)}{S_0(u)} < \infty, E_0 \int_0^T\frac{d \langle \Gamma_0^{\mathrm{lm}} \rangle (u)}{S_0^2(u)} < \infty $$ 在哪裡 $ E_0 $ 表示期望 $ d P_0 = Z_0, dP, Z_0 =\exp \left[ - \int_0^t \theta’(s) dW(s) - \frac 1 2 \int_0^t | \theta(s) |^2 ds \right] $ ， 和 $ \theta (\cdot ) $ 是風險過程的市場價格。
$ d \hat\Gamma^{\mathrm{fv}}(u) = \vert d \Gamma^{\mathrm{fv}} (u)\vert $ 表示有限變分部分的絕對變分 $ \Gamma $ . 此外，作者提醒說，關於新措施 $ P_0 $ , $$ d \Gamma_0^{\mathrm{fv}}(t) = d \Gamma^{\mathrm{fv}}(t) - \theta’(t) d \langle \Gamma^{\mathrm{lm}}, W \rangle (t) . $$
現在作者在備註 5.8 中聲稱 $ H_0(t ) := Z_0 (t) / S_0 (t) $ （狀態價格密度過程），累積收益過程的可積性條件可以改寫為 $$ E \int_0^T H_0(u) d \hat\Gamma^{\mathrm{fv}}(u) < \infty , $$ 如果 $ \Gamma^{\mathrm{lm}}(\cdot ) \equiv 0 $ .
我不明白這是如何等效的，我不知道它是否應該等效於兩個條件或僅等效於第一個條件。我試圖重寫提議的條件。如果我沒錯的話，
$$ E \int_0^T H_0(u) d \hat\Gamma^{\mathrm{fv}}(u) = E_0 \left[ \int_0^T \frac{\exp \left( \int_{(u,T]} \theta’(s) dW(s) + \frac 1 2 \int_{(u,T]} | \theta(s) |^2 d s \right) }{S_0(u)} d \hat\Gamma_0^{\mathrm{fv}}(u) \right] $$
現在我該怎麼處理分子？
部分解的草圖：讓 $ \pi_n := \lbrace 0 = \tau^n_0\leq \tau_1^n \leq \dots \leq \tau_{m_n}^n=T\rbrace $ 是一個分區序列 $ \operatorname{mesh}(\pi_n)\to 0 $ 因為我們有以下限制（嚴格來說，我們要選擇一個子序列，加上一些步驟需要證明）： $$ E \int_0^T \frac{Z_0(t)}{S_0(t)},d\widehat\Gamma^{\mathrm{fv}} (t) = \lim_{n\to \infty} E\sum_{i = 1}^{m_n - 1} \vert \widehat\Gamma^{\mathrm{fv}}\vert,([![\tau^n_{i}, \tau^n_{i+1} [![) , \frac{Z_0(\tau_i^n)}{S_0(\tau_i^n)} $$ $$ = \lim_{n\to \infty} \sum_{i = 1}^{m_n - 1} E \left[ \vert \widehat\Gamma^{\mathrm{fv}} \vert ([![\tau^n_{i}, \tau^n_{i+1} [![),\frac{Z_0(\tau_i^n)}{S_0(\tau_i^n)} \right] = \lim_{n\to \infty} \sum_i E_0 \left[ \vert \widehat\Gamma^{\mathrm{fv}} \vert ([![\tau^n_{i}, \tau^n_{i+1} [![),\frac{Z_0(\tau_i^n)}{Z_0(\tau_{i+1}^n)S_0(\tau_i^n)} \right] $$ $$ = \lim E_0 \sum \dots = E_0 \int_0^T \frac{d \widehat \Gamma^{\mathrm fv} (t)}{S_0(t)} $$ 現在， $$ E_0 \int_0^T \frac{d \widehat \Gamma^{\mathrm fv} (t)}{S_0(t)}\leq E_0 \int_0^T \frac{d \widehat\Gamma_0^{\mathrm{fv}} (t)}{S_0(t)} +E_0 \int_0^T \vert \theta (t) \vert \frac{d \vert \langle \Gamma^{\mathrm{lm}}, W \rangle \vert }{S_0(t)} \leq E_0 \int_0^T \frac{d \widehat\Gamma_0^{\mathrm{fv}} (t)}{S_0(t)} +\left( \int_0^T | \theta (t) |^2,dt \right)^{1/2} \left( E_0 \int_0^T \frac{d \langle \Gamma^{\mathrm{lm}} \rangle }{S_0(t)^2} \right)^{1/2} $$ 在這裡，最後一步來自於 Kunita-Watanabe 不等式（隨後是 Cauchy-Schwarz $ L^2 (P_0) $ ）。同樣的方式，可以顯示 $ E_0 \int \dots \geq E_0 \int \dots - E_0 \int \dots \geq E_0 \int\dots - T^{1/2} (E_0 \int \dots )^{1/2} $ . 這表明如果假設 $ E_0 \int_0^T \frac{d \langle \Gamma^{\mathrm{lm}} \rangle }{S_0(t)^2} < \infty $ ，其他兩個條件是等價的。（編輯：請注意 $ \langle \Gamma^{lm} \rangle = \langle \Gamma_0^{lm} \rangle $ )
剩下的我還在想。
我要求我的賞金回來。^^