調查歐式看漲期權的合理價格如何變化
令S (0) = 100 為風險資產的初始價格。考慮一個歐式看漲期權，行權價格為 K，到期時間T = 1（年）。考慮幾個二項式模型並研究期權的合理價格（即 C(0) ）如何取決於模型參數的選擇和執行價格K。
我正在嘗試回答這個問題，但我不確定如何開始。我正在嘗試在 1 步、2 步和 3 步二項式模型上執行此操作，也許看看是否有模式，但我不確定如何為 1 步啟動它，而不是可能有一個執行價格K = 100。另外我認為 2 步模型將在 1/2 年邁出一步，而 3 步模型將在 1/3 年等。
我的意思是：當我必須分配隨機參數 U、D 和 R 時，我只是選擇我想要的任何數字還是我應該堅持某個區間？就像我可以說，對於 1 步 U=1.1 和 D=0.9，然後對於 2 步，比如 U=1.2 和 D=0.8？這對這個問題有用還是我沒有得到它？
使用（重組）二項式樹，終端資產價格具有二項式分佈。給定上下移動大小 $ u $ 和 $ d = 1/u $ ，分別為之後的終端價格 $ n $ 步驟和 $ k $ 向上移動是 $ S_{n,k} =S_0u^kd^{n-k}= S_0u^{2k-n} $ 達到這個價格的機率是
$$ P_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}q^k(1-q)^{n-k}, $$
在哪裡 $ q = \frac{r-d}{u-d} $ 和 $ r $ 是與單個步驟相關的每個時期的利率。
看漲期權價格是收益的貼現風險中性預期，
$$ C = \frac{1}{(1+r)^n}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}q^k(1-q)^{n-k} \max(S_{n,k}-K,0), $$
這將收斂到 Black-Scholes 期權價格。 使用它作為評估準確性的參考。我相信收斂速度是 $ \mathcal{O}(1/n) $ 作為 $ n \to \infty $ . 換句話說，翻倍 $ n $ 應該將錯誤減半。
您可以使用給定的定價公式通過數值實驗來發現這一點（您不必費力地向後遍歷樹）。時間步長為 $ \Delta t= \frac{T}{n} $ 上漲幅度與波動率有關 $ u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}} $ . 所以你可以持有 $ T $ , $ K $ , $ \sigma $ ， 和 $ r $ 固定並觀察期權價格的行為 $ n $ 是多種多樣的。
您也可以通過分析證明它，儘管這非常困難。