Mark Joshi，數學金融的概念與實踐第 5 章問題 2
如果
$$ dX_t = \mu(t,X_t)dt + \sigma(X_t)dW_t $$ 和 $ \sigma $ 正，表明存在函式 $ f $ 這樣$$ d\left(f(X_t)\right) = v(t,X_t)dt + V dW_t $$在哪裡 $ V $ 是恆定的。多麼獨特 $ f $ ?
Mark Joshi 的解決方案說： $ f(X_t) $ 根據伊藤引理，將是
$$ f’(X_t)\sigma(X_t) $$ 所以我們需要解決$$ f’(X_t) = \sigma^{-1}(X_t)A $$ 對於一些常數 $ A $ . 我們推斷 $$ f(X) = C + A\int_{0}^{X}\sigma(S)^{-1}dS $$ 和 $ A $ 和 $ C $ 任意常數。 這是一個完整的解決方案嗎？我沒有看到顯示 if 的相關步驟 $ f $ 是獨特的。另外，我不明白為什麼當他從伊藤的引理斷言波動性部分 $ f(X_t) $ 導致解決 $ f’(X_t) = \sigma^{-1}(X_t)A $ .
這是一個完整的解決方案。
牢記由 SDE 驗證的 SDE $ (X_t)_{t \geq 0} $ ，應用伊藤引理來計算（隨機）微分 $ f(X_t) $ 產量
$$ \begin{align} df(X_t) &= \underbrace{\frac{\partial f}{\partial t}}_{0} dt + \frac{\partial f}{\partial X}(X_t) dX_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial X^2}(X_t) d\langle X \rangle_t \ &= f’(X_t) dX_t + \frac{1}{2}f’’(X_t)\sigma^2(X_t) dt \ &= \left( f’(X_t)\mu(t,X_t) + \frac{1}{2}f’’(X_t)\sigma^2(X_t) \right) dt +f’(X_t) \sigma(X_t) dW_t \ &:= v(t,X_t) dt + V dW_t \end{align} $$ 這樣通過確定擴散項我們確實需要解決 $$ f’(X_t)\sigma(X_t) = V $$ 求解這個簡單的 ODE 給出 $$ f(X) = C + V \int_0^X \sigma^{-1}(x) dx,,,, \forall C \in \Bbb{R} $$ 顯示功能 $ f $ 不是唯一的，因為定義為一個標量常數（顯然，如果 $ V $ 不是固定的，那麼它也是一個任意參數）。