相關的數學方程d在d小號d在d小號frac{dV}{dS}至d在dķd在dķfrac{dV}{dK}
請幫我弄清楚兩者之間的數學關係是什麼 $ \frac{dV}{dS} $ （三角洲）和 $ \frac{dV}{dK} $ ( $ K $ =strike)，考慮到 vol skew。
我問這個是因為我想弄清楚某個數字在某個罷工時的價值，因為我知道那裡的普通期權三角洲，而且我也有波動率的微笑。
我知道有一個等式：
$$ \frac{d V}{d S} = \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial S} , $$所以我想我需要類似的東西。 據我回憶 ， $ dV/dK = N(d2) $ 和 $ dV/dS = N(d1) $ （忽略股息和無風險利率），所以我只需要一些簡單的近似連結 $ \frac{dV}{dS} $ 和 $ \frac{dV}{dK} $ （如果精確關係太複雜，則為近似值）。
如果您的工作建模假設使得對數價格過程的動態 $ \ln(S_t) $ 是空間齊次的，你有一個歐式普通期權的價格本身就是一個空間齊次函式。然後，您可以訴諸歐拉定理來獲得您需要的關係。
更具體地說，定義時間的價格 $ t $ 期權到期日 $ T $ 並擊中 $ K $ 作為
$$ V = DF(t,T), \Bbb{E}_t^\Bbb{Q} \left[ (w(S_T - K))^+ \right] := V(S_t, K, T-t, \theta) $$ 在哪裡 $ \theta $ 數字相關模型參數和 $ w=\pm1 $ 看漲/看跌因素。現在在我們剛剛提到的空間同質性假設下，你可以寫成 $$ V(xS_t,xK,T-t,\theta) = x V(S_t,K,T-t,\theta), \forall x \geq 0 $$ 取關於的導數 $ x $ 兩側，然後設置 $ x=1 $ 給出：
$$ \frac{\partial V}{\partial S} S + \frac{\partial V}{\partial K} K = V $$ 因此 $$ \frac{\partial V}{\partial K} = \frac{1}{K} \left( V - \frac{\partial V}{\partial S} S \right) $$ 這就是你要找的。
事實上，如果您正在為數字電話定價（ $ D $ 下面）例如，使用符號 $ C $ 表示歐洲看漲期權價格
$$ \begin{align} D &= -\frac{dC}{dK} \ &= -\left[ \frac{\partial C}{\partial K} + \frac{\partial C}{\partial \Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right] \ &= -\left[ \frac{1}{K}\left( C - \Delta S\right) + \nu \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right] \end{align} $$ 在哪裡成熟 $ T $ 和罷工水平 $ K $ , $ C $ 是相應的歐洲看漲價格， $ \Delta $ 它的BS Delta， $ \nu $ 它的 BS Vega 和 $ \partial \Sigma/\partial K $ IV 偏斜。我們已經使用我們剛剛得出的結果從第二行移動到第三行。