Heston模型中的特徵函式問題
我知道赫斯頓模型。在這個模型中，我們有
$$ f(\Phi,x_t,v_t)=\exp(C_j(\tau,\Phi)+D_j(\tau,\Phi)+i * \Phi * x_t) $$ 我們如何提取特徵函式如下
$$ f(\Phi_1,\Phi_2,x_t,v_t)=\mathbb{E}[\exp(i * \Phi_1 * x_T+i*\Phi_2*v_T)] $$ 謝謝。
Heston 模型由隨機微分方程的二元系統表示
$$ \begin{align} & dS_t=rS_tdt+{\sqrt\upsilon_t}S_t dW_1(t) \ & dv_t=\kappa(\theta-v_t) dt+\sigma{\sqrt v_t}dW_2(t) \tag 1\ &\mathbb{E}[dW_1(t),dW_2(t)]=\rho dt \end{align} $$ 放 $ x_t=\ln S_t $ , 應用伊藤引理，我們有 $$ \begin{align} & dx_t=\left(r-\frac12 v_t\right)dt+{\sqrt\upsilon_t} dW_1(t) \ & dv_t=\kappa(\theta-v_t) dt+\sigma{\sqrt v_t}dW_2(t) \tag 2\ \end{align} $$ 讓 $ B_1(t) $ 和 $ B_2(t) $ 是兩個獨立的維納過程，我們有 $$ \begin{align} & dx_t=\left(r-\frac12 v_t\right)dt+{\sqrt\upsilon_t} dB_1(t) \ & dv_t=\kappa(\theta-v_t) dt+\sigma{\sqrt v_t}\left(\rho,dB_1(t)+\sqrt{1-\rho^2}dB_2(t)\right) \tag 3\ \end{align} $$ 現在我們可以將赫斯頓模型寫成如下 $$ dy_t=\mu(t,y_t)dt+\Sigma(t,y_t)dB_t\tag 4 $$ 在哪裡 $$ y_t=\left( \begin{matrix} {x_t} \ {v_t} \ \end{matrix} \right) $$ $$ \mu(t,y_t)=\left( \begin{matrix} r-\frac{1}{2}{{v}{t}} \ \kappa (\theta -{v_t}) \ \end{matrix} \right) \ \Sigma (t,y_t)=\left( \begin{matrix} \sqrt{{{v}{t}}} & 0 \ \sigma \rho \sqrt{v_t} & \sigma \sqrt{1-{{\rho }^{2}}}\sqrt{{{v}{t}}} \ \end{matrix} \right)\tag 5 $$ 和 $$ B(t)=\left( \begin{matrix} {{B}{1}}(t) \ {{B}{2}}(t) \ \end{matrix} \right) $$ 漂移 $ \mu $ 和矩陣 $ \Sigma\Sigma^{\text{T}} $ 都可以寫成仿射形式 $$ \begin{align} &\quad,, \mu (t,{{y}{t}})={{\alpha}{0}}+{{\alpha}{1}}{{x}{t}}+{{\alpha}{2}}{{v}{t}} \ & \Sigma {{\Sigma }^{\text{T}}}(t,{{y}{t}})={{\beta}{0}}+{{\beta}{1}}{{x}{t}}+{{\beta}{2}}{{v}{t}} \ \end{align}\tag 6 $$ 在哪裡 $$ {{\alpha }{0}}=\left( \begin{matrix} r \ k\theta \ \end{matrix} \right),,{{\alpha }{1}}=\left( \begin{matrix} 0 \ 0 \ \end{matrix} \right),{{\alpha }{2}}=\left( \begin{matrix} -0.5 \ -\kappa \ \end{matrix} \right)\tag 7 $$ 和 $$ {{\beta }{0}}={{\beta }{1}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \ \end{matrix} \right),{{\beta }_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & \rho \sigma \ \rho \sigma & {{\sigma }^{2}} \ \end{matrix} \right)\tag 8 $$Duffie、Pan 和 Singleton (2000)的 結果是特徵函式具有對數線性形式 $$ f(\phi_1,\phi_2,x_t,v_t)=\exp\left(A(\tau,\phi_1,\phi_2)+B(\tau,\phi_1,\phi_2)x_t+C(\tau,\phi_1,\phi_2)v_t\right) $$
筆記
Duffie、Pan 和 Singleton (2000) 表明，一大類多元仿射模型（其中 Heston 模型是一個特例）的特徵函式具有對數線性形式。
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