避免投資的效用函式
投資者擁有初始財富 $ 30000 $ 和效用函式 $ \ln{x} $ . 他正計劃投資一個他擁有的項目 $ 60% $ 獲得機會 $ \alpha% $ 和 $ 40% $ 失去的機會 $ \beta% $ . 用以下方式表達這種投資的確定性等價物 $ \alpha $ 和 $ \beta $ . 如果 $ \beta=20 $ , 找到值的範圍 $ \alpha $ 投資者將避免這種投資。
$$ \begin{array}{c|lcr} \text{p} & \text{x} & \text{$U(W_0+x)$} \ \hline 0.6 & 30000(1+0.0\alpha ) & U[30000(1+0.0\alpha )] \ 0.4 & 30000(1+0.0\beta ) & U[30000(1+0.0\beta )] \ \end{array} $$ 確定性等價物
$ =0.6\ln30000[(1+0.0\alpha )]+0.4\ln[30000(1+0.0\beta )] $
介紹 $ \beta=20 $ 並且因為避免投資
$ =0.6\ln[30000(1+0.0\alpha )]+0.4\ln(24000) \le \ln{30000} $
解決這個我得到 $ \alpha $ 為負。某處存在一些錯誤。
假如說 $ W_0 $ 是初始財富 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 是收益率，最終財富是離散隨機變數
$$ \begin{align} W_T = \begin{cases} W_0(1+\alpha) &\text{ with probability }\quad p=0.6\ W_0(1-\beta) &\text{ with probability }\quad 1-p=0.4 \end{cases} \end{align} $$ 如果終端財富的預期效用小於或等於初始財富的預期效用，則應避免投資： $$ \Bbb{E}[ U(W_T) ] \leq U(W_0) $$ 這給了 $$ \begin{align} & 0.6 \ln(W_0(1+\alpha)) + 0.4\ln(W_0(1-\beta)) \leq \ln(W_0) \ \iff& 0.6 \ln(W_0) + 0.6\ln(1+\alpha) + 0.4\ln(W_0) + 0.4\ln(1-\beta) \leq \ln(W_0) \ \iff& \ln(1+\alpha) \leq -\frac{2}{3}\ln(1-\beta) \end{align} $$ 進一步假設 $ \beta = 20% $ 產生以下範圍的值 $ \alpha $ 投資者將避免這種投資。 $$ \alpha \leq \exp(-2/3\ln(1-\beta)) - 1 \approx 16.04% $$