關於量化金融的效用函式
我試圖了解效用函式及其在量化金融中的應用。我已經對此進行了一些初步研究（已經通過 Paul Wilmott 關於量化金融），但無法捕捉到這個想法。任何理論（或數學）解釋將不勝感激！！謝謝！
在目前的量化金融應用領域，效用函式已經退居二線。這是否有效是一個令人擔憂的問題。
如果 Markowitz 模型及其子模型是正確的，效用函式很重要，但沒有必要明確地包含在計算中。換句話說，人們是受效用驅動的，但市場均衡的運動並不取決於效用函式。這一觀點的挑戰在於 CAPM 模型組和 Ito 微積分模型組都沒有通過驗證測試。有充分的證據表明他們是錯誤的。
如果是這樣，那麼效用出現在兩個地方。首先是財富的效用。其次，估計器的效用。
現在，就像在其他經濟學中一樣，效用函式應該仍然落在無差異曲線的切點處。在經濟學的大多數情況下，效用函式的確切函式形式實際上並不重要，只要它保持偏好順序並且具有正確的一般形狀即可。
在這種情況下，一定數量的股票的邊際效用就是它的價格。
它出現的第二個地方是估計器的選擇。由於使用無偏估計的慣例，這在經濟學中沒有得到充分的討論。特別是具有風險中性機率的無偏估計量。
問題是整個統計領域都可以通過將效用理論與機率論結合起來推導出來。當您最小化二次損失時，您正在最小化$$ (\hat{\theta}-\theta)^2. $$這是一個負效用函式。實際上，統計損失函式被定義為效用函式的負值。
無偏估計的問題伴隨著重尾分佈，例如股票證券的回報。
有兩個問題。首先，重尾分佈在更大的指數分佈家族之外。其次，這些重尾分佈缺乏第一時刻。
當試驗次數已知時，包括正態分佈的指數分佈族還包含大量重要的其他分佈，例如 Weibull 或二項式。這些分佈有一個非常好的特性，$$ \Pr(\theta|\hat{\theta})=\Pr(\theta|X), $$在哪裡 $ X $ 是數據， $ \theta $ 是參數和 $ \hat{\theta} $ 是估計器。
這就是說，如果您知道參數估計器，那麼您將擁有與擁有樣本一樣的所有資訊。數據集中沒有不在估計器中的資訊。同樣，估計器中沒有不在數據中的資訊。他們是完美的替代品。這就是使某些估算器（例如 $ \bar{x} $ 當數據正態分佈如此重要時。這也是為什麼中位數很少用於此類數據的原因。
對於重尾分佈來說，這種說法是不正確的。不存在足以滿足參數的頻率點統計量。
確實，您可以將點統計量作為輔助統計量的條件以用於推理目的，但不能用於預測或投影目的。
這並不意味著不存在解決方案，但該解決方案並未用於量化金融。貝氏概似函式始終是一個最小足夠的統計量。它不會產生一個點，除非在退化的情況下。但是，如果將效用函式應用於貝氏預測分佈，則可以獲得有效的點統計量。
第二個問題是大部分重尾分佈沒有一階矩，因此不能使用二次損失。積分發散。
這就提出了一個在經濟學中一直處於休眠狀態但在統計學中仍然存在的問題，即應該使用什麼樣的效用函式。那不是財富的效用，而是做出估計的效用，這反過來又決定了財富的分配和定價。
在實際的量化金融中，換句話說，“為了找到一份工作”，效用並不重要。
如果您正在考慮十年後的情況，那麼實用程序很可能會很重要。
編輯 作為對評論的回應，這個問題比看起來更具挑戰性。
在德菲內蒂的機率公理化中，沒有辦法將機率與效用分開。這 $ \mathcal{U}(\tilde{x}) $ ， 在哪裡 $ x $ 是一個隨機變數實際上是一個單一的計算。它是一個函式，而不是函式的函式。從技術上講，它們是不可分離的。如果你改變你的效用函式，在 de Finetti 中，你也改變了你的機率，反之亦然。
出於創建統計的目的，這並不重要。出於建立經濟模型的目的，它確實如此。
如果你看一下 Savage 對機率的公理化，效用和機率是可分離的。您的效用函式獨立於您對機率的評估。您仍然會得到一個複合計算，但它是兩個獨立的函式。對於德菲內蒂，大腦正在做一個不可分割的計算。使用 de Finetti，您的大腦會像關心結果一樣關心機率，但會將它們混合在一起，就好像它們是一回事一樣。
在德菲內蒂的世界裡，機率是不存在的。僅僅，它和效用是經濟學家將世界視為對事件和行為的解釋的方式。機率不是真實的東西。實用程序不是真實的東西。它們是不以現實為基礎的抽象，因此在他的數學中不可分離。
一種思考方式是這樣的。岩石不遵守萬有引力定律。這是一個絕對的事實，因為岩石不能違反萬有引力定律。岩石本身也不存在。那是我們對他們的稱呼。
De Finetti 使用了機率、價格和預測這三個詞作為可互換的詞。通常，prevision這個詞被翻譯成英文。德菲內蒂概念化的缺點是顯而易見的。偏好既產生效用又產生機率，而沒有辦法將它們分開，這讓經濟學家的生活變得糟糕透頂。不過它有一個優勢。它僅取決於市場上可觀察到的價格。通過使價格=機率=預測，你有很大的優勢，因為你可以看到價格。這個人不會讓你在他們的腦海中看到他們的機率或預測。
在 Savage 的世界中，如果你的效用厭惡或喜歡不確定性，那麼最大化將在沒有特殊過程的情況下將其考慮在內。例如，$$ \mathcal{U}(\tilde{x})=\sqrt{\tilde{x}} $$是規避風險的，並且在計算中內置了風險規避，從而使其最大化。在馮諾依曼的世界中，效用最大化就是最大化$$ \int_{x\in\chi}\mathcal{U}(x)p_\theta(x)\mathrm{d}x $$受到一些限制。在野蠻人 $ p_\theta(x) $ 變成 $ p(x_{future}|x_{past}) $ de Finetti 會問一個更簡單的問題，“你想買這個賭注嗎？” 這將是 de Finetti 的一個功能。
De Finetti 會要求你最大化$$ \mathcal{G}(\tilde{x}). $$ 裡面有什麼 $ \mathcal{G} $ 你問？一切。