為什麼一些實用功能被廣泛使用？
我在不同的文章/書籍中經常遇到一些馮諾依曼實用函式，例如： $ U(x)=\ln(x) $ , $ U(x)= \frac {1}{\gamma}x^\gamma $ 和 $ \gamma <1 $ 和 $ U(x)=\frac {1-\gamma}{\gamma}(\frac{\alpha x}{1-\gamma} +\beta)^{\gamma} $ 受限制 $ \gamma \neq 1, \frac{\alpha x}{1-\gamma} +\beta >0 $ ， 和 $ \beta=1 $ 如果 $ \gamma=-\infty $ .
我的問題是：為什麼經常使用這些功能？它們不是唯一的“簡單”凹函式和遞增函式嗎？
所以我想一定有一些特定的屬性讓它們變得有趣？
這些是自然且最簡單（數學上最容易處理）的選擇。
效用函式被定義為正仿射變換：在經濟上，效用函式之間沒有區別 $ U(x) $ 和 $ \tilde{U}(x)=Au(x)+B $ . 因此，在仿射變換中保持不變的風險厭惡度量將是有用的。如何建構這樣的度量？好吧，最簡單的方法是考慮表達式
$$ A(x)= -\frac{U’’(x)}{U’(x)} $$ 又名 ARA（Arrow-Pratt絕對風險厭惡度量）。ARA 在仿射變換下保持不變並測量風險厭惡程度 - 效用函式的曲率。ARA 的倒數衡量風險承受能力的水平，一個簡單的特殊情況是它是財富的線性函式： $$ T(x)=\frac{1}{A(x)}=\frac{x}{1-\gamma}+\frac{b}{a}. $$ 現在，使相應的風險承受能力水平呈線性的效用函式是什麼？這些是 ODE 的解決方案 $$ -\frac{U’(x)}{U’’(x)}=\frac{x}{1-\gamma}+\frac{b}{a} $$ 已知可以以封閉形式求解。方程的唯一解（直到仿射變換！）具有以下形式 $$ \qquad U(x)=\frac{1-\gamma}{\gamma}\left(\frac{ax}{1-\gamma}+b \right)^\gamma.\qquad(1) $$ 還有其他解決方案與（1）的不同之處在於加法和/或乘法常數，但這些不會影響效用函式所暗示的行為。(1) 被稱為雙曲線絕對風險厭惡。 您提到的其他實用程序功能只是（1）的規範。特別是，假設 $ b=0 $ 一個得到等彈性效用：
$$ \quad\qquad U(x) = \begin{cases}\frac{x^\gamma-1}{\gamma},\quad \gamma\neq 0 \ \ln(x), \quad \gamma =0 \end{cases}\qquad\quad (2) $$ (2) 也是唯一一個具有恆定相對風險厭惡的效用函式的例子 $$ R(x)=xA(x)=1-\gamma. $$