給定效用函式的確定性等價和風險厭惡參數
我知道這很容易，但我沒有任何可以在網上找到的範例或材料來真正發揮作用。
考慮一個代理人，其效用指數超過財富由下式給出$$ v(w) = \frac{w^{1 - \gamma} - 1}{1 - \gamma}, \gamma > 0 $$
說代理有 $ 10 $ 美元的財富，還擁有一張彩票 $ 0 $ 有機率的美元 $ 2/3 $ 並支付 $ 12 $ 有機率 $ 1/3 $ . 該彩票對具有風險厭惡參數的代理人的確定性等值和風險補償是多少 $ \gamma = 2 $ ?
因此對於 $ \gamma = 2 $ ， 我們有$$ v(w) = \frac{w-1}{w} $$所以彩票的期望值為 $ 4 $ 美元。我的問題是我們如何計算確定性等值和風險溢價。我在任何地方都找不到一個很好的例子。當我們計算時，似乎我們得到了等式中未定義的部分 $ E[v(L)] $ 在哪裡 $ L $ 是彩票，因此我看不出我們如何找到確定性等價物……
對於確定性等價物和“風險補償”（我將其解釋為機率溢價，因為它是唯一在這種情況下對我來說直覺上有意義的東西；請隨時糾正我），更直覺地思考這些概念。確定性等價物是您願意接受的冷硬現金數量來代替不確定的結果。
在良好的結果與 $ \frac{1}{3} $ 機率，你最終會得到很多 $ 10 + 12 $ ，並且有機率處於壞狀態 $ \frac{2}{3} $ 在彩票沒有給你任何東西的地方，你仍然會得到財富 $ 10 $ . 因此，我們正在尋找我將表示的財富 $ w^c $ 在哪裡
$$ v(w_c) = \mathbb{E}(v(w)) \implies \frac{w_c - 1}{w_c} = \left(\frac{22-1}{22}\right)\cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{10-1}{10}\right) \cdot \frac{2}{3} $$ 求解 $ w_c $ 這將是確定性的等價物。你會注意到，試圖解決這個問題，我們得到：
$$ \frac{w_c - 1}{w_c} = \frac{101}{110} $$ $$ \implies \boxed{w_c = \frac{110}{9} \approx 12.2} $$
至於機率溢價，這是使新彩票的預期效用等於舊彩票的預期價值的效用所需的機率向更好的彩票結果的轉變。
$$ \mathbb{E}{\text{new}}(v(w)) = v(\mathbb{E}{\text{old}}(w)) $$ $$ \implies \left(\frac{1}{3} + \pi\right) \cdot \left(\frac{22-1}{22}\right) + \left(\frac{2}{3} - \pi\right) \cdot \left(\frac{10-1}{10}\right) = \left(\frac{22 \cdot \frac{1}{3} + 10 \cdot \frac{2}{3} -1}{22 \cdot \frac{1}{3} + 10 \cdot \frac{2}{3}}\right) $$ $$ \implies \frac{101}{110} + \frac{6}{110} \pi = \frac{13}{14} $$ $$ \implies \pi = \frac{8}{770} \approx 0.01 $$ （假設我正確計算了我的分數）
**編輯：**我看到問題是要求風險溢價，而不是機率溢價。請注意，彩票的預期財富是 14，但確定性等值是 12.222…
兩者的區別在於風險溢價。