債券價格表達式

我正在研究一些數學金融，我偶然發現了一些我似乎無法找到來源的東西。我可能忽略了一些東西，但我希望有人能啟發我並給我一些我可以看看的資源。在 Björk 2020 的第 95 頁中指出，具有價格過程的無風險資產 $ B $ 有以下表達式： $$ B_{t} = B_{0} \exp\left(\int_{0}^{t} r_{s} ds\right). $$ 有人可以解釋我為什麼會這樣或連結到他們解釋為什麼這樣給出的一些來源。提前致謝。

如果 $ \delta > 0 $ 很小，那麼小子期間產生的利息 $ [t, t + \delta] $ 可以使用單利公式來近似。更具體地說，產生的利息 $ [t, t + \delta] $ 是：

$$ B(t + \delta) - B(t) = B(t) r(t) \delta + o(\delta^2) $$

在哪裡 $ B(t) r(t) \delta $ 是如果我們使用單利會產生的利息。

除以 $ \delta $ ， 我們有

$$ \frac{B(t + \delta) - B(t)}{\delta} = B(t)r(t) + o(\delta) $$

採取限制 $ \delta \to 0 $ ， 我們有

$$ B’(t) = \lim_{\delta \to 0} \frac{B(t + \delta) - B(t)}{\delta} = B(t)r(t) $$

微分方程的解 $ B’(t) = B(t)r(t) $ 與初始條件 $ B(0) = B_0 $ 是

$$ B(t) = B_0 \exp\left( \int_0^t r(s) ds \right) $$

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/48179