布朗運動定理
我知道如果 $ W $ 和 $ W′ $ 是兩個獨立的布朗運動，那麼 $ dWt \ dWt′ $ = 0. 我怎樣才能證明/證明這個定理？
另外，我們如何證明如果 $ W $ 和 $ W′ $ 是依賴的，那麼 $ dWt \ dWt′ = \rho \ dt $ ?
第一部分看起來很明顯，因為獨立性意味著共變異數為零，並且由於相關性只是共變異數除以標準差的乘積，因此它也將為零。 $$ \text{Cov}(W_t,W_t^\prime)=\mathbb E [W_t,W_t^\prime]-\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime] $$ 由迭代展開定律 $$ \mathbb E [W_t,W_t^\prime]=\mathbb E[\mathbb E[W_tW_t^\prime|W_t^\prime]]=\mathbb E[W_t^\prime\underbrace{\mathbb E[W_t|W_t^\prime]}{W_t\perp W_t^\prime}]=\mathbb E[W_t^\prime\mathbb E[W_t]]=\mathbb E[W_t]\mathbb E[W_t^\prime] $$ $$ \Rightarrow \text{Cov}(W_t,W_t^\prime)=\mathbb E [W_t,W_t^\prime]-\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime]=\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime]-\mathbb E [W_t]\mathbb E[W_t^\prime]=0 $$ $$ \text{Corr}(W_t,W_t^\prime)=\frac{\text{Cov}(W_t,W_t^\prime)}{\sqrt{\text{Var}[W_t]}\sqrt{\text{Var}[W_t^\prime]}}=\frac{0}{t}=0 $$ $$ \Rightarrow d\langle W_t,W_t^\prime\rangle\underbrace{=}{\text{by indep.}}d\langle W_t\rangle d\langle W_t^\prime\rangle=0 $$
什麼時候 $ W $ 和 $ W^\prime $ 是相關的，可以將布朗運動重寫為在相同過濾下另一個布朗運動和另一個布朗運動的線性組合，即與另一個正交，即 $$ dW_t^\prime=\rho dW_t+\sqrt{1-\rho^2}dW_t^\perp, \quad W_t\perp W_t^\perp $$ 然後計算 $ d\langle W_t,W_t^\prime\rangle $ .