金融
一價定律成立但沒有套利失敗的例子
有人告訴我，沒有套利是比單一價格定律更強有力的假設。
特別是，一價定律等價於隨機貼現因子的存在，而無套利則等價於嚴格正的隨機貼現因子的存在。
有人可以給我舉一個 LOOP 成立但沒有套利失敗的例子嗎？
謝謝。
發生這種情況的例子總是極端和做作的。我可以想到兩種例子。第一個是您擁有的資產由於某種原因價格為零或負數，但在某些州有正回報（也許在該州沒有其他資產有回報）。第二個是你有兩種資產，價格為正，在所有州都有負收益（反之亦然）。
你可以想出其他品種，但它們總是有點奇怪。為了向您展示如何做到這一點，我會更精確一點。要回答這個問題，我們需要更清楚地了解套利的含義。許多書籍給出了兩種套利的定義（例如，參見 Darrell Duffie 的資產定價書籍）。不過，讓我先設置一些符號。
符號
讓 $ p_i $ 成為安全的代價 $ i $ 和 $ p = [p1,…,p_N]’ $ . 讓 $ D_{ij} $ 成為安全的回報 $ i $ 處於狀態 $ j $ 和 $ D $ 作為一個 $ N \times S $ 矩陣，其中 $ N $ 是資產數量和 $ S $ 是狀態數。讓 $ \theta_i $ 是類型證券的數量 $ i $ 擁有的，與 $ \theta = [\theta_1, …, \theta_N]’ $ .
一些定義
- “一價定律”：對於任何投資組合 $ \theta $ 滿足 $ D’ \theta = \vec 0 $ ，應該是這樣 $ q’ \theta = 0 $ .
- “第一類套利”：存在投資組合 $ \theta $ 這樣 $ p’ \theta \leq 0 $ 和 $ D’ \theta > \vec 0 $ . 這意味著向量的所有元素 $ D’ \theta $ 是嚴格積極的。
- “第二種套利”：存在投資組合 $ \theta $ 這樣 $ p’\theta < 0 $ 和 $ D’\theta \geq \vec 0 $ . 這意味著向量的所有元素 $ D’ \theta $ 是非負的。
例子
- 在第一個範例中，考慮僅存在一項資產的極端情況。假設 $ p = 0 $ 和 $ D=1 $ （一個州，但我們可以擁有更多）。那麼一價定律成立，第一類套利就存在了。不過，這很做作。
- 考慮的例子 $ p = [1 \quad 2]’ $ 和 $$ D = \begin{bmatrix} -2 & -1 \ -4 & - 2 \end{bmatrix}. $$ 這滿足一價定律。然而，當 $ \theta = [-1 \quad 0]’ $ 或者 $ \theta = [0 \quad -1]’ $ ， 我們有 $ p’\theta < 0 $ 和 $ D’ \theta \geq 0 $ 和 $ \theta \neq 0 $ .