尋找最大增長的投資組合
我有以下問題要求我解決“最大增長投資組合”。
假設均衡隨機貼現因子演變為
$$ \log S_{t+1} - \log S_t = \kappa_s(X_t, W_{t+1}). $$解決以下最大化問題： $$ \begin{equation*} \begin{aligned} & \underset{x}{\text{maximize}} & & E[\log(R_{t+1})] \ & \text{subject to} & & E\left[ \frac{S_{t+1}}{S_t} R_{t+1}, \middle | X_t = x \right] = 1. \end{aligned} \end{equation*} $$
我們將如何得出以下解決方案似乎很清楚： $ R^*{t+1} = \exp(-\kappa(X_t, W{t+1})) = \frac{S_t}{S_{t+1}} $ . 但是，我的問題與理解這個問題背後的經濟學有關。這個問題的約束清楚地表明，無論我們建構什麼投資組合，它都必須是公平定價的（給定隨機貼現因子過程 $ S_t $ ）。但是，我不明白為什麼會有一個產生“最大預期回報”的投資組合。所以，有我的兩個問題：
- 為什麼這裡的目標不是無限的？難道我們不能總是選擇具有更高預期回報（相應地具有更高風險）的投資組合嗎？
- 另外，為什麼目標中有日誌？這個問題是否與目標相同？ $ E[R_{t+1}] $ ?
假設您有一個由隨機變數 X 描述的回報的投資組合。呼叫 X 的最低可能實現：xmin。如果您在該投資組合中以槓桿 A 和融資成本 r 持有槓桿頭寸，您的回報為 r(A-1)+AX。當您獲得 X 的最差回報並且槓桿投資組合回報 -100% 時，將存在一個不大於 1/xmin 的 A 值。你的財富遊戲結束了。
因此，如果您進行長期投資並在每個時期後進行再投資，您應該清楚的是，您不能簡單地任意最大化槓桿以最大化長期回報。期望的對數收益最大化目標函式正是長期收益最大化的目標函式。這個目標將 -100% 的回報視為 -infinity 效用，因此不惜一切代價避免它。
相反，如果您最大化預期收益，則不會發生這種情況。根據您的直覺，您的偏好將是無限大的槓桿。
另一種思考方式是風險規避。財富中的對數效用類似於 CRRA 效用參數為 1，而預期收益效用函式類似於 CRRA 參數為 0（風險中性）。由於風險中立者不關心風險，因此他看到了具有正預期回報的資產，並希望對其進行巨額槓桿押注。日誌實用程序的人相對具有風險承受能力，但仍然擔心極端結果，因此不想要太多的槓桿作用。
如果 X 取值的範圍大多在 +/- 30% 的範圍內，那麼 E
$$ log(X) $$很好地近似於 E$$ X $$+0.5Var(X) 因此可以很好地用Markowitz 均值變異數投資組合優化來近似，其中 lambda 為 1/2。哪裡像 E$$ X $$偏好類似於零的 lambda，如果沒有額外的約束，它將沒有有界的解決方案。