我如何計算高級部分的價格和風險？
假設我授予兩筆風險 X 年的貸款 P(default)=0.1 of 1000 USD。為簡單起見，我們假設利率為 0。
我想出售由這兩項貸款支持的 X 年 1000 美元的高級部分和 1000 美元的初級部分。
我如何計算這些批次的價格？如果兩筆貸款的 P（違約）要麼完全不相關，要麼完全相關，那麼這個練習似乎微不足道。但是，如果：0< 相關性 < 1，我該怎麼做？
讓 $ D_1 = 1 $ 成為第一筆貸款違約的事件，讓 $ D_2 = 1 $ 是第二筆貸款違約的事件。假設我們知道相關性 $ \rho $ 之間 $ D_1 $ 和 $ D_2 $ 我們知道邊際 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ .
目的是計算兩個貸款之一違約的機率（對於初級部分）和兩個違約的機率（高級部分）。
首先，請注意： $$ \begin{align*} &\mathbb{E}[D_1] = \Pr(D_1) = p_1\ &\mathbb{E}[D_2] = \Pr(D_2) = p_2. \end{align*} $$ 首先，讓我們嘗試計算兩筆貸款違約的機率。 $$ p_{12} = \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 1) $$ 之間的共變異數 $ D_1 $ 和 $ D_2 $ 是（誰）給的： $$ cov(D_1, D_2) = \mathbb{E}\left[(D_1 - p_1)(D_2 - p_2)\right] = p_{12} - p_1 p_2 $$ 接下來，變異數 $ D_1 $ 和 $ D_2 $ 等於： $$ \begin{align*} var(D_1) &= \mathbb{E}\left[(D_1 - p_1)^2\right] = p_1 - (p_1)^2 = p_1(1-p_1),\ var(D_2) &= p_2(1- p_2). \end{align*} $$ 所以相關性由下式給出： $$ corr(D_1, D_2) = \rho = \frac{cov(D_1, D_2)}{var(D_1)} = \frac{p_{12} - p_1 p_2}{\sqrt{p_1(1-p_1)} \sqrt{p_2(1-p_2)}} $$ 因此，兩種違約的機率由下式給出： $$ p_{12} = \rho \sqrt{p_1(1-p_1)} \sqrt{p_2(1-p_2)} + p_1 p_2. $$ 然後還有： $$ \begin{align*} \Pr(D_1= 1 \text{ and } D_2 = 0) &= \Pr(D_1 = 1)- \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 1),\ &= p_1 - \rho \sqrt{p_1 p_2(1-p_1)(1-p_2)} - p_1 p_2\ \Pr(D_2 = 1 \text{ and } D_2 = 0) &= p_2 - \rho \sqrt{p_1 p_2(1-p_1)(1-p_2)} - p_1 p_2 \end{align*} $$ 那麼至少一個違約的機率由下式給出： $$ \begin{align*} \Pr(D_1 = 1 \text{ or } D_2 = 1) &= \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 0) + \Pr(D_1 = 0 \text{ and } D_2 = 1) + \Pr(D_1 = 1 \text{ and } D_2 = 1),\ &= p_1 + p_2 - \rho\sqrt{p_1 p_2(1-p_1) (1-p_2)} - p_1 p_2,\ \end{align*} $$